Question

11．已知函數(shù)f（x）=x³-x+3．
（Ⅰ）求f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)，從而得到切線的斜率，再利用點(diǎn)斜式方程寫出切線方程即可．
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=x³-1，
∴f'（x）=3x²-1，在x=1處的切線斜率k=3•1²-1=2，
又∵f（1）=1³-1+3=3，
∴切線方程為y-3=2（x-1）化簡(jiǎn)得2x-y+1=0，
（Ⅱ）∵f'（x）=3x²-1=3（x-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）（x+$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
令f'（x）=0，解得x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，或x=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
當(dāng)x∈（-∞，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）或x∈（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）和（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，和函數(shù)的單調(diào)性，考查運(yùn)算求解能力、推理能力，屬于中檔題．