Question

19．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$ax³+$\frac{1}{2}$bx²+cx在點（-1，f（-1））處的切線與x軸平行，在點（1，f（1））處切線的斜率為1，又對任意x∈R，都有x≤f'（x）恒成立．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求g（x）=12f（x）-4x²-3x-3在$[{\frac{1}{2}，2}]$上的最大值；
（Ⅲ）設(shè)h（x）=$\frac{m}{x}$+x•lnx，若對任意x₁，x₂∈$[{\frac{1}{2}，2}]$，都有h（x₁）≥g（x₂）．求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義，導(dǎo)數(shù)與切線斜率的關(guān)系，聯(lián)立方程即可求得b=$\frac{1}{2}$，c=$\frac{1}{2}$-a，對任意x∈R，都有x≤f'（x）恒成立，轉(zhuǎn)化成ax²-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$-a≥0恒成立，則$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△＜0}\end{array}\right.$，即可求得a和c的值，求得f（x）的解析式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，求得g（x），求導(dǎo)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得在$[{\frac{1}{2}，2}]$上的最大值；
（Ⅲ）由題意可知m≥[x-x²lnx]_max，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得函數(shù)的最大值，即可求得m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵求導(dǎo)f（x）=$\frac{1}{3}$ax³+$\frac{1}{2}$bx²+cx，f′（x）=ax²+bx+c，
因為函數(shù)f（x）的圖象在點（-1，f（-1））處的切線與x軸平行，
∴f′（-1）=0，即a-b+c=0，①，
而f′（1）=1，即a+b+c=1，②，
由①②可解得b=$\frac{1}{2}$，c=$\frac{1}{2}$-a，
由對任意x∈R，x∈R，都有x≤f'（x）恒成立．
即ax²-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$-a≥0恒成立．則$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△＜0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{16{a}^{2}-8a+1≤0}\end{array}\right.$，
解得：a=$\frac{1}{4}$．
∴f（x）=$\frac{1}{12}$x³+$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{4}$x；
（II）∵g（x）=12f（x）-4x²-3x-3=x³+4x²+3x-4x²-3x-3=x³-x²-3，
∴求導(dǎo)，g′（x）=3x²-2x=x（3x-2），
當(dāng)x∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$]時，g′（x）＜0，此時函數(shù)g（x）單調(diào)遞減，
此時g（x）_max=g（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{25}{8}$；
當(dāng)x∈[$\frac{2}{3}$，2]時，g′（x）＞0，此時函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，此時g（x）_max=g（2）=1；
因為g（2）＞g（$\frac{1}{2}$），當(dāng)x∈[$\frac{2}{3}$，2]時，g（x）_max=g（2）=1；
∴g（x）在$[{\frac{1}{2}，2}]$上的最大值1；
（ III）∵h（x）=$\frac{m}{x}$+x•lnx，對任意x₁，x₂∈$[{\frac{1}{2}，2}]$，都有h（x₁）≥g（x₂），則x∈[$\frac{2}{3}$，2]時，都有h（x）≥g（x）_max=1，
∴m≥x-x²lnx，則m≥[x-x²lnx]_max．令p（x）=x-x²lnx，$\frac{1}{2}$≤x≤2，
∴p′（x）=1-2xlnx-x，
則p′（x）=0，當(dāng)x∈（1，2）時，p′（x）=1-x-2xlnx＜-2xlnx＜0，
此時p（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（$\frac{1}{2}$，1）時，p′（x）=1-x-2xlnx＞-2xlnx＞0，
此時p（x）單調(diào)遞增，
∴p（x）_max=p（1）=1，
∴m≥1，
實數(shù)m的取值范圍[1，+∞）．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．