Question

如圖，有一公共邊但不共面的兩個(gè)三角形ABC和A₁BC被一平面DEE₁D₁所截，若平面DEE₁D₁分別交AB，AC，A₁B，A₁C于點(diǎn)D，E，D₁，E₁．
（1）討論這三條交線ED，CB，E₁ D₁的關(guān)系．
（2）當(dāng)BC∥平面DEE₁D₁時(shí)，求的值；
（3）當(dāng)BC不平行平面DEE₁D₁時(shí)，的值變化嗎？為什么？

Answer 1

解：（1）互相平行或三線共點(diǎn)．
當(dāng)BC∥平面DEE₁D₁時(shí)，平面ABC∩平面DEE₁D₁=ED
∴BC∥ED，
同理CB∥E₁ D₁，∴ED∥CB∥E₁ D₁
當(dāng)BC不平行平面DEE₁D₁時(shí)，延長ED、CB交于點(diǎn)H，
∴H∈EF
∵EF?平面DEE₁D₁，∴H∈平面DEE₁D₁
同理H∈平面A₁BC
∴H∈平面DEE₁D₁∩平面A₁BC
即H∈E₁D₁
∴E₁、D₁、H三點(diǎn)共線，∴三線共點(diǎn)
（2）∵BC∥平面DEE₁D₁，且BC?平面ABC，平面ABC∩平面DEE₁D₁=ED
∴BC∥ED，同理BC∥E₁D₁
在△ABC中，BC∥ED，∴
同理可得
∴==1
（3）由（1）可得，延長ED、CB、E₁D₁交于點(diǎn)H，過點(diǎn)B作BF∥AC，BG∥A₁C
∵BF∥AC，∴
同理可得
在△HCE中，BG∥CE₁，∴
同理可得
∴====1
∴的值不變化，仍為1
分析：（1）利用線面平行的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)，及公理2可得結(jié)論；
（2）利用線面平行的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)可得結(jié)論；
（3）利用平行線的性質(zhì)，考查比例式，化簡可得結(jié)論．
點(diǎn)評：本題考查線面平行，考查平行線的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．