(理)如圖,與拋物線x2=-4y相切于點A(-4,-4)的直線l分別交x軸、y軸于點F、E,過點E作y軸的垂線l0.

(1)若以l0為一條準線,中心在坐標原點的橢圓恰與直線l也相切,切點為T,求橢圓的方程及點T的坐標;

(2)若直線l與雙曲線6x2-λy2=8的兩個交點為M、N,且點A為線段MN的中點,又過點E的直線與該雙曲線的兩支分別交于P、Q兩點,記在x軸正方向上的投影為p,且()p2=m,m∈[,],求(1)中切點T到直線PQ的距離的最小值.

(文)如圖,與拋物線x2=-4y相切于點A(-4,-4)的直線l分別交x軸、y軸于點F、E,過點E作y軸的垂線l0.

(1)若以l0為一條準線,中心在坐標原點的橢圓恰好過點F,求橢圓的方程;

(2)若直線l與雙曲線6x2-λy2=8的兩個交點為M、N,且點A為線段MN的中點,又過點E的直線與該雙曲線的兩支分別交于P、Q兩點,記在x軸正方向上的投影為p,且()p2=m,m∈[,],求直線PQ的斜率的取值范圍.

答案:(理)解:拋物線x2=-4y中,∵導數(shù)y′=-x,∴直線l的斜率為y′|x=-4=2.

故直線l的方程為y=2x+4.∴點F、E的坐標分別為F(-2,0)、E(0,4).

(1)∵直線l0的方程是y=4,∴以l0為一條準線,中心在坐標原點的橢圓方程可設為=1(a>b>0).則=4.由(4b2+a2)x2+16b2x+16b2-a2b2=0.

∵直線l與橢圓相切,∴Δ=162b4-4(4b2+a2)(16b2-a2b2)=0.而=4,a2=b2+c2,解得a2=4,b2=3.

∴所求橢圓方程為=1.

此時,x=,即切點T的坐標為T(-,1).

(2)設l與雙曲線6x2-λy2=8的兩個交點為M(x1,y1)、N(x2,y2),顯然x1≠x2.∵點A為線段MN的中點,∴x1+x2=-8,y1+y2=-8.

.

而kl===2λ=3.∴雙曲線的方程為6x2-3y2=8,即=1.

在x軸正方向上的投影為p,

∴p2=cos2∠EFO=.

設直線PQ的方程為y=kx+4(斜率k必存在),點P(x3,y3),Q(x4,y4).

=x3x4+y3y4==5m.而m∈[,],∴=x3x4+y3y4.

(6-3k2)x2-24kx-56=0.∵P、Q兩點分別在雙曲線的兩支上,∴6-3k2≠0.

.

此時y3y4=(kx3+4)(kx4+4)=k2x3x4+4k(x3+x4)+16.∴x3x4+y3y4=(1+k2)x3x4+4k(x3+x4)+16

=(1+k2)+==.

.∴.,

∴k2∈[0,],即k∈[,].

而切點T到直線PQ的距離為

.

設t=,k∈[],則t′=.

令t′>0k<-或k>2.∴t=在[]上單調遞增,在[-,]上單調遞減.

又k=時,d=2+;k=時,d=2-.∴dmin=2,即切點T到直線PQ的距離的最小值為2.

(文)解:拋物線x2=-4y中,∵導數(shù)y′=-x,∴直線l的斜率為y′|x=-4=2.故直線l的方程為y=2x+4.

∴點F、E的坐標分別為F(-2,0)、E(0,4),

(此處也可用Δ=0求切線斜率,再寫出方程)

(1)∵直線l0的方程是y=4,∴以l0為一條準線,經過點F,中心在坐標原點的橢圓方程可設為=1(a>2).則c=,其準線方程為y==.由=4,得=4,化簡得a4=16(a2-4),解得a2=8.∴橢圓方程為=1.

(2)設l與雙曲線6x2-λy2=8的兩個交點為M(x1,y1)、N(x2,y2),顯然x1≠x2.∵點A為線段MN的中點,∴x1+x2=-8,y1+y2=-8.由.

∵kl===2λ=3.∴雙曲線的方程為6x2-3y2=8,即=1.

在x軸正方向上的投影為p,∴p2=cos2∠EFO=

=.設直線PQ的方程為y=kx+4(斜率k必存在),點P(x3,y3),Q(x4,y4).

=x3x4+y3y4==5m.而m∈[,],∴=x3x4+y3y4.

(6-3k2)x2-24kx-56=0.∵P、Q兩點分別在雙曲線的兩支上,∴6-3k2≠0.

.

此時y3y4=(kx3+4)(kx4+4)=k2x3x4+4k(x3+x4)+16.∴x3x4+y3y4=(1+k2)x3x4+4k(x3+x4)+16

=(1+k2)++16==.

.∴.

,∴k2∈[0,].∴k∈[].故所求直線PQ的斜率的取值范圍是[].

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