Question

設(shè)d為非零實(shí)數(shù)，an=

1

n

[Cn1d+2Cn2d2+…+(n-1)Cnn-1+nCnndn](n∈N*)
（Ⅰ）寫(xiě)出a₁，a₂，a₃并判斷﹛a_n﹜是否為等比數(shù)列．若是，給出證明；若不是，說(shuō)明理由；
（Ⅱ）設(shè)b_n=nda_n（n∈N*），求數(shù)列﹛b_n﹜的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：本題考查的是數(shù)列求和問(wèn)題，在解答時(shí)：
（Ⅰ）根據(jù)條件直接代入n值計(jì)算即可獲得a₁、a₂、a₃的值．然后利用，當(dāng)n≥2，k≥1時(shí)，

k

n

C

k n

=

C

k-1 n-1

，對(duì)數(shù)列通向進(jìn)行化簡(jiǎn)可得a_n=d（d+1）^n-1，進(jìn)而分類(lèi)討論問(wèn)題即可獲得解答；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：a_n=d（d+1）^n-1，進(jìn)而可計(jì)算b_n，結(jié)合b_n的特點(diǎn)可利用成公比錯(cuò)位相減法進(jìn)行求解，注意分類(lèi)討論即可獲得問(wèn)題的解答．

解答：解：（Ⅰ）由題意可知：a₁=d，a₂=d（1+d），a₃=d（1+d）²，
當(dāng)n≥2，k≥1時(shí)，

k

n

C

k n

=

C

k-1 n-1

，
∴an=

1

n

C

1 n

d1+

2

n

C

2 n

d2+

3

n

C

3 n

 d3+…

n

n

C

n n

dn
=d（C_n-1⁰d⁰+C_n-1¹d¹+C_n-1²d²+…+C_n-1^n-1d^n-1）
=d（d+1）^n-1．
所以，當(dāng)d≠-1時(shí)，{a_n}是以d為首項(xiàng)，d+1為公比的等比數(shù)列．
當(dāng)d=-1時(shí)，a₁=-1，a_n=0（n≥2），此時(shí){a_n}不是等比數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：a_n=d（d+1）^n-1，
∴b_n=nd²（d+1）^n-1=d²n（d+1）^n-1，
∴S_n=d²[1•（d+1）⁰+2•（d+1）¹+3•（d+1）²+…+（n-1）•（d+1）^n-2+n•（d+1）^n-1]，
當(dāng)d=-1時(shí)，S_n=d²=1
當(dāng)d≠-1時(shí)，
（d+1）S_n=d²[1•（d+1）¹+2•（d+1）²+3•（d+1）³+…+（n-1）•（d+1）^n-1+n•（d+1）ⁿ]，
∴-dS_n=d²[1+（d+1）+（d+1）²+（d+1）³+…+（d+1）^n-1-n（d+1）ⁿ]，
∴S_n=（d+1）ⁿ（nd-1）+1．
綜上可知：S_n=（d+1）ⁿ（nd-1）+1，n∈N*．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是數(shù)列求和問(wèn)題，在解答的過(guò)程當(dāng)中充分體現(xiàn)了同學(xué)們的運(yùn)算能力、數(shù)據(jù)處理能力、分類(lèi)討論的思想以及問(wèn)題轉(zhuǎn)化的思想．值得同學(xué)們體會(huì)和反思．