Question

已知f（x）=log_a（1+x），g（x）=log_a（1-x）（a＞0，a≠1）．
（1）求函數(shù)f（x）-g（x）的定義域；
（2）判斷函數(shù)f（x）-g（x）的奇偶性，并予以證明；
（3）求使f（x）-g（x）＞0的x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可得f（x）-g（x）=log_a（1+x）-log_a（1-x）=loga

1+x

1-x

，由

1+x＞0 1-x＞0

求得函數(shù)的定義域．
（2）由于f（x）-g（x）=loga

1+x

1-x

，它的定義域?yàn)椋?1，1），令h（x）=f（x）-g（x），可得h（-x）=-h（x），從而得到函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）為奇函數(shù)．
（3）由f（x）-g（x）＞0 可得loga

1+x

1-x

＞0．當(dāng) a＞1時(shí)，由

1+x

1-x

＞1 求得x的范圍；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由0＜

1+x

1-x

＜1，求得x的范圍．

解答：解：（1）由于f（x）=log_a（1+x），g（x）=log_a（1-x），故f（x）-g（x）=log_a（1+x）-log_a（1-x）=loga

1+x

1-x

，
由

1+x＞0 1-x＞0

，求得-1＜x＜1，故函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，1）．
（2）由于f（x）-g（x）=log_a（1+x）-log_a（1-x）=loga

1+x

1-x

，它的定義域?yàn)椋?1，1），令h（x）=f（x）-g（x），
可得h（-x）=loga

1-x

1+x

=-loga

1+x

1-x

=-h（x），故函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）為奇函數(shù)．
（3）由f（x）-g（x）＞0 可得loga

1+x

1-x

＞0．
當(dāng) a＞1時(shí)，有

1+x

1-x

＞1，即

2x

x-1

＜0，解得 0＜x＜1．
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，有 0＜

1+x

1-x

＜1，即

x+1 1-x ＞0 x+1 1-x ＜1

，即

x+1 x-1 ＜0 2x x-1 ＞0

，解得-1＜x＜0．
綜上可得，當(dāng) a＞1時(shí)，0＜x＜1； 當(dāng)0＜a＜1時(shí)，-1＜x＜0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分式不等式的解法，體現(xiàn)了分類討論和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．