Question

20．已知圓$C：{x^2}+{y^2}+2\sqrt{2}x-10=0$，點$A（\sqrt{2}，0）$，P是圓上任意一點，線段AP的垂直平分線l和半徑CP相交于點Q．
（Ⅰ）當(dāng)點P在圓上運動時，求點Q的軌跡方程；
（Ⅱ）直線$y=kx+\sqrt{2}$與點Q的軌跡交于不同兩點A和B，且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=1$（其中O為坐標(biāo)原點），求k的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化圓的一般方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心坐標(biāo)和半徑，結(jié)合已知可得點Q的軌跡是橢圓，并求出a，c的值，進一步得到b的值，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得A，B的橫坐標(biāo)的和與積，再由$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=1$列式求得k值．

解答 解：（Ⅰ）由圓$C：{x^2}+{y^2}+2\sqrt{2}x-10=0$，得圓$C：{（x+\sqrt{2}）^2}+{y^2}={（2\sqrt{3}）^2}$，
由條件，|QC|+|QA|=|CP|＞|CA|，
故點Q的軌跡是橢圓，且$a=\sqrt{3}，c=\sqrt{2}，b=1$，
∴橢圓的方程為$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$；
（Ⅱ）將$y=kx+\sqrt{2}$代入$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$，得$（1+3{k^2}）{x^2}+6\sqrt{2}kx+3=0$．
由直線與橢圓交于不同的兩點，得$\left\{\begin{array}{l}1+3{k^2}≠0\\△={（6\sqrt{2}k）^2}-12（1+3{k^2}）=12（3{k^2}-1）＞0.\end{array}\right.$，即${k^2}＞\frac{1}{3}$．
設(shè)A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），
則${x_A}+{x_B}=-\frac{{6\sqrt{2}k}}{{1+3{k^2}}}，{x_A}{x_B}=\frac{3}{{1+3{k^2}}}$．
由$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=1$，得x_Ax_B+y_Ay_B=2．
而${x_A}{x_B}+{y_A}{y_B}={x_A}{x_B}+（k{x_A}+\sqrt{2}）（k{x_B}+\sqrt{2}）=（{k^2}+1）{x_A}{x_B}+\sqrt{2}k（{x_A}+{x_B}）+2$
=$（{k^2}+1）\frac{3}{{1+3{k^2}}}-\sqrt{2}k\frac{{6\sqrt{2}k}}{{1+3{k^2}}}+2=\frac{{5-3{k^2}}}{{3{k^2}+1}}$．
于是$\frac{{5-3{k^2}}}{{3{k^2}+1}}=1$．解得$k=±\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
故k的值為$±\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．

點評 本題考查軌跡方程的求法，考查橢圓的簡單性質(zhì)，訓(xùn)練了平面向量在求解圓錐曲線問題中的應(yīng)用，是中檔題．