Question

10．在平面直角坐標系xOy中，雙曲線C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的漸近線與橢圓C₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）交于第一、二象限內(nèi)的兩點分別為A、B，若△OAB的外接圓的圓心為（0，$\sqrt{2}$a），則雙曲線C₁的離心率為$\sqrt{6}-\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由雙曲線C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，可得漸近線為y=$±\frac{a}$x，與橢圓方程聯(lián)立解得A，利用兩點之間的距離公式可得：$\sqrt{（\frac{a}{\sqrt{2}}）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}-\sqrt{2}a）^{2}}$=$\sqrt{2}$a，解得$\frac{a}$．利用雙曲線C₁的離心率=$\sqrt{1+（\frac{a}）^{2}}$即可得出．

解答 解：由雙曲線C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，可得漸近線為y=$±\frac{a}$x，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{a}x}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得A$（\frac{a}{\sqrt{2}}，\frac{\sqrt{2}}）$，
則$\sqrt{（\frac{a}{\sqrt{2}}）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}-\sqrt{2}a）^{2}}$=$\sqrt{2}$a，
化為：b²-4ab+a²=0，
解得$\frac{a}$=2-$\sqrt{3}$．
∴雙曲線C₁的離心率=$\sqrt{1+（\frac{a}）^{2}}$=$\sqrt{6}-\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{6}-\sqrt{2}$．

點評 本題考查了橢圓與雙曲線的標準方程及其性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．