Question

已知B是橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0）上的一點，F是橢圓右焦點，且BF⊥x軸，B(1，

3

2

)．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設A₁和A₂是長軸的兩個端點，直線l垂直于A₁A₂的延長線于點D，|OD|=4，P是l上異于點D的任意一點，直線A₁P交橢圓E于M（不同于A₁，A₂），設λ=

A2M

•

A2P

，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由題意，c=1，左焦點為F′（-1，0），求出|BF|，|BF′|，利用2a=|BF|+|BF′|，即可求得橢圓E的方程；
（II）確定M，P的坐標，求得

A1M

=(x0-2，y0)，

A2P

=(2，

6y0

x0+2

)，表示出λ=

A2M

•

A2P

，即可求得λ的取值范圍．

解答：解：（I）由題意，c=1，左焦點為F′（-1，0），則2a=|BF|+|BF′|
∵B(1，

3

2

)，∴|BF|=

3

2

，|BF′|=

5

2

∴2a=4，∴a=2
∴b²=a²-c²=3
∴橢圓E的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（II）由（I）知A₁（-2，0），A₂（2，0），設M（x₀，y₀），則

x02

4

+

y02

3

=1
∵P，M，A₁三點共線，∴P(4，

6y0

x0+2

)
∴

A1M

=(x0-2，y0)，

A2P

=(2，

6y0

x0+2

)
∴λ=

A2M

•

A2P

=2（x₀+2）+

6y02

x0+2

=

5

2

（2-x₀）       
∵2＜x₀＜2，∴

5

2

（2-x₀）∈（0，10）
∴λ的取值范圍為（0，10）．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查向量知識的運用，正確表示向量的坐標，利用向量的數量積公式是關鍵．