Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB于點(diǎn)F．
（1）求證：面PBC⊥面EFD；
（2）求二面角C-PB-D的大�。�

Answer 1

分析：（1）由已知中底面ABCD是邊長為2的正方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PB上，我們可得DE⊥PB，再由EF⊥PB結(jié)合線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理得到結(jié)論．
（2）由（II1）中結(jié)論，可得PB⊥FD．結(jié)合EF⊥PB，由二面的定義可得∠EFD就是二面角C-PB-D的平面角，解三角形EFD即可得到答案．

解答：證明：（1）證明：∵PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥DB，PD⊥DC，PD⊥DB．
又∵BC⊥DC，PD∩DC=D，
∴BC⊥平面PDC．
∴PC是PB在平面PDC內(nèi)的射影．
∵PD⊥DC，PD=DC，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，∴DE⊥PC．
由三垂線定理知，DE⊥PB．
∵DE⊥PB，EF⊥PB，DE∩EF=E，
∴PB⊥平面EFD．   
又∵PB?面PBC…（8分）
∴面PBC⊥面EFD；
解：（2）∵PB⊥平面EFD，
∴PB⊥FD．
又∵EF⊥PB，F(xiàn)D∩EF=F，
∴∠EFD就是二面角C-PB-D的平面角．…（10分）
∵PD=DC=BC=2，∴PC=DB=2

2

，DE=

1

2

PC=

2

∵PD⊥DB，
∴PB=

PD2+DB2

=2

3

DF=

PD•DB

PB

=

2 6

3

由（1）知：DE⊥PC，DE⊥PB，PC∩PB=P，∴DE⊥平面PBC．
∵EF?平面PBC，∴DE⊥EF．
在Rt△DEF中，sin∠EFD=

DE

DF

=

3

2

∴∠EFD=60°．
故所求二面角C-PB-D的大小為60°．  …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是用空間向量求平面間的夾角，直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，二面角的平面角及求法，其中幾何法的關(guān)鍵是熟練掌握空間直線與平面位置關(guān)系的定義、判定、性質(zhì)及幾何特征，建立良好的空間想像能力，幾何法的關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系，將空間線面關(guān)系及線面夾角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題．