Question

2．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{a}{x}$+b（x≠0），其中a，b∈R．若對任意的a∈[$\frac{1}{2}$，2]，不等式f（x）≤10在x∈[$\frac{1}{4}$，1]上恒成立，則b的取值范圍為（-∞，$\frac{7}{4}$]．

Answer 1

分析 根據(jù)x+$\frac{a}{x}$函數(shù)的性質(zhì)可判斷當a最小時，x越大函數(shù)值越大，當a越大時，x越小函數(shù)值越大，只需比較最大的即可．

解答 解：∵對任意的a∈[$\frac{1}{2}$，2]，不等式f（x）≤10在x∈[$\frac{1}{4}$，1]上恒成立，
∴當a=$\frac{1}{2}$時，f（x）最大值為f（1）=1+$\frac{1}{2}$+b=$\frac{3}{2}$+b
當a=2時，f（x）最大值為f（$\frac{1}{4}$）=$\frac{1}{4}$+8+b=$\frac{33}{4}$+b
顯然$\frac{33}{4}$+b＞$\frac{3}{2}$+b，
∴$\frac{33}{4}$+b≤10，
∴b≤$\frac{7}{4}$，
故答案為：（-∞，$\frac{7}{4}$]

點評 本題考查了對抽象函數(shù)x+$\frac{a}{x}$的深刻理解和恒成立問題的轉(zhuǎn)換．恒成立問題即最值問題，牢記這一轉(zhuǎn)換．