Question

已知直線（t為參數(shù)），與橢圓x²+4y²=16交于A、B兩點(diǎn)．
（1）若A，B的中點(diǎn)為P（2，1），求|AB|；
（2）若P（2，1）是弦AB的一個(gè)三等分點(diǎn)，求直線l的直角坐標(biāo)方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)出直線方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為P（2，1），求出斜率，即可求得直線AB的方程．
（2）根據(jù)P（2，1）是弦AB的一個(gè)三等分點(diǎn)，得到|AP|=|PB|，從而得出|t₁|=2|t₂|，⇒t₁=-2t₂，再利用（1）中得到的方程結(jié)合韋達(dá)定理解得a的值，從而得出直線l的直角坐標(biāo)方程．
解答：解：（1）直線代入橢圓方程，
整理得（4a²+1）t²-4（2a-1）t-8=0
設(shè)A、B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁、t₂，則t₁+t₂=，t₁t₂=，
∵A，B的中點(diǎn)為P（2，1），∴t₁+t₂=0
解之得a=，∴t₁t₂=-4，∵|AP|==|t₁|，|BP|=|t₂|，
∴|AB|=（|t₁|+|t₁|）=×=2，
（2）P（2，1）是弦AB的一個(gè)三等分點(diǎn)，∴|AP|=|PB|，
∴|t₁|=2|t₂|，⇒t₁=-2t₂，
∴t₁+t₂=-t₂=，t₁t₂=-2t=，
∴t=，∴=，解得a=，
∴直線l的直角坐標(biāo)方程y-1=（x-2）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與橢圓的綜合，考查弦中點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是直線方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理求解．