Question

9．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₂=14，且a_n=（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{n}$）S_n-2^n-1（n∈N^*）
（1）求$\frac{{S}_{1}}{2}$，$\frac{{S}_{2}}{4}$，$\frac{{S}_{3}}{8}$；
（2）由（1）猜想數(shù)列{$\frac{{S}_{n}}{{2}^{n}}$}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

分析 （1）可令n=1，2，3，代入已知等式，結(jié)合a1=S1；an=sn-sn-1（n＞1），計(jì)算即可得到所求值；
（2）猜想可得數(shù)列{$\frac{{S}_{n}}{{2}^{n}}$}的通項(xiàng)公式$\frac{{S}_{n}}{{2}^{n}}$=n²（n∈N^*）．運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明．驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)，等式成立；再假設(shè)n=k（k∈N^*），$\frac{{S}_{k}}{{2}^{k}}$=k²成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)合假設(shè)和a_k+1=S_k+1-S_k，化簡(jiǎn)整理，即可得證．

解答 解：（1）a_n=（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{n}$）S_n-2^n-1（n∈N^*），
可得n=1時(shí)，a₁=S₁=（$\frac{1}{2}$+1）S₁-1，
解得S₁=2，即有$\frac{{S}_{1}}{2}$=1；
n=2時(shí)，a₂=S₂-S₁=（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$）S₂-2=14，
解得S₂=16，$\frac{{S}_{2}}{4}$=4；
n=3時(shí)，a₃=S₃-S₂=（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$）S₃-2²，
解得S₃=72，$\frac{{S}_{3}}{8}$=9；
（2）由（1）猜想可得數(shù)列{$\frac{{S}_{n}}{{2}^{n}}$}的通項(xiàng)公式為$\frac{{S}_{n}}{{2}^{n}}$=n²（n∈N^*）．
下面運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明．
①當(dāng)n=1時(shí)，由（1）可得$\frac{{S}_{1}}{2}$=1成立；
②假設(shè)n=k（k∈N^*），$\frac{{S}_{k}}{{2}^{k}}$=k²成立，
當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1=S_k+1-S_k=（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{k+1}$）S_k+1-2^k+1-1，
即有（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{k+1}$）S_k+1=S_k-2^k=2^k•k²-2^k=（k²-1）•2^k，
則$\frac{k-1}{2（k+1）}$S_k+1=（k+1）（k-1）•2^k，
當(dāng)k=1時(shí)，上式顯然成立；
當(dāng)k＞1時(shí)，S_k+1=2（k+1）²•2^k=（k+1）²•2^k+1．
即$\frac{{S}_{k+1}}{{2}^{k+1}}$=（k+1）²，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立．
由①②可得對(duì)一切n∈N^*，$\frac{{S}_{n}}{{2}^{n}}$=n²成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，注意運(yùn)用歸納法和數(shù)學(xué)歸納法證明，考查化簡(jiǎn)整理和推理能力，屬于中檔題．