Question

（1）利用定義證明：函數(shù)f（x）=x³-3x在[0，1]上單調(diào)遞減，在[1，+∞）上單調(diào)遞增；
（2）設(shè)x₀是方程x³-3x=100的正實(shí)數(shù)解，利用（1）的結(jié)論，求證：4＜x₀＜5．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的證明步驟：取值-作差-變形-判斷符號-下結(jié)論，在對應(yīng)的定義域內(nèi)進(jìn)行取值，判斷符號時需要分類討論；
（2）先對函數(shù)解析式進(jìn)行化簡，判斷出x₀所在的單調(diào)區(qū)間，再由單調(diào)性和f（4）=52、f（5）=110，證明出結(jié)論正確．

解答：解：（1）任取x₁，x₂∈[0，+∞），且x₁＜x₂
∴f（x₁）-f（x₂）=（x₁³-3x₁）-（x₂³-3x₂）

=x13-x23-3x1+3x2 =(x1-x2)(x12+x1x2+x22-3)

∵0≤x₁＜x₂，即x₁-x₂＜0
當(dāng)x₁，x₂∈[0，1]時，x₁²+x₁x₂+x₂²-3＜0，有f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂）；
當(dāng)x₁，x₂∈[1，+∞）時，x₁²+x₁x₂+x₂²-3＞0，有f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）；
由單調(diào)性定義得：f（x）=x³-3x在[0，1]上單調(diào)減，在[1，+∞）上單調(diào)增；
（2）由于f（x）=x³-3x=x（x²-3），當(dāng)0≤x≤

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時，f（x）≤0＜100，
∴方程x³-3x=100的正實(shí)數(shù)解x0＞

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又∵f（x）=x³-3x在[1，+∞）上的增函數(shù)，且f（x₀）=100，f（4）=52，f（5）=110，
∴f（4）＜f（x₀）＜f（5），即4＜x₀＜5．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)單調(diào)性的證明以及應(yīng)用，利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性時，必須遵循取值-作差-變形-判斷符號-下結(jié)論這個步驟，涉及了分類討論思想．