Question

已知函數f（x）=|x+2|．
（1）解關于x的不等式f（x）-|3x-4|≤1；
（2）若f（x）+|x-a|＞1恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）依題意|x+2|-|3x-4|≤1，通過分類討論去掉絕對值符號，再解，最后取其并集即可；
（2）方法1：在數軸上，設點A，B，M對應的實數分別為-2，a，x，利用絕對值的幾何意義得|MA|+|MB|≥|AB|即可；
方法2：由絕對值三角不等式得|x+2|+|x-a|≥|（x+2）-（x-a）|=|a+2|，即可求得實數a的取值范圍．

解答：解：（1）由f（x）-|3x-4|≤1得|x+2|-|3x-4|≤1，
即

x＜-2 -(x+2)+(3x-4)≤1

或

-2≤x＜ 4 3 (x+2)+(3x-4)≤1

或

x≥ 4 3 (x+2)-(3x-4)≤1

得解集為{x|x≤

3

4

，或x≥

5

2

}．（6分）
（2）方法1：在數軸上，設點A，B，M對應的實數分別為-2，a，x，
則“f（x）+|x-a|＞1恒成立”?“|x+2|+|x-a|＞1恒成立”?“|MA|+|MB|＞1恒成立”．
∵|MA|+|MB|的最小值為|AB|，即|a+2|，
∴|a+2|＞1，得a+2＞1，或a+2＜-1，即a＞-1，或a＜-3．
方法2：由絕對值三角不等式得|x+2|+|x-a|≥|（x+2）-（x-a）|=|a+2|，
∴|a+2|＞1，
解得a＞-1，或a＜-3．（12分）

點評：本題考查絕對值不等式的解法，考查分類討論思想與絕對值不等式的幾何意義，考查推理與運算能力，屬于難題．