Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=4，a_n=4-

4

an-1

(n≥2)，令bn=

1

an-2

．
（1）求證數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列．（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)知an-2=2-

4

an-1

，于是有

1

an-2

=

1

2

+

1

an-1-2

，b_n-b_n-1=

1

2

，由此可知數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列．
（2）由題設(shè)知b_n=

n

2

，于是有

1

an-2

=

n

2

，兩邊同時取倒數(shù)后能夠得到a_n=

2

n

+2．

解答：解：（1）an=4-

4

an-1

，
an-2=2-

4

an-1

=2×

an-1-2

an-1

，
于是有

1

an-2

=

1

2

+

1

an-1-2

，
bn=

1

2

+bn-1，即b_n-b_n-1=

1

2

，
故有數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，公差為

1

2

．
（2）b1=

1

a1-2

=

1

2

．
所以有b_n=

n

2

，
于是有

1

an-2

=

n

2

，
∴a_n=

2

n

+2．

點評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應用，解題時要注意等差數(shù)列的性質(zhì)的應用和判斷．