Question

已知點(diǎn)P（0，b）是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F（1，0）、M（a，0）滿(mǎn)足PM⊥PF，動(dòng)點(diǎn)N滿(mǎn)足．
（1）求動(dòng)點(diǎn)N所在曲線C的方程．
（2）已知點(diǎn)D（1，2）在曲線C上，若曲線C上兩點(diǎn)A、B（都不同于D點(diǎn)）滿(mǎn)足DA⊥DB，試證明直線AB必過(guò)定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)N（x，y），由于PM⊥PF，動(dòng)點(diǎn)N滿(mǎn)足．用坐標(biāo)表示向量，可得坐標(biāo)之間的關(guān)系，進(jìn)而化簡(jiǎn)方程即可；
（2）利用DA⊥DB，用坐標(biāo)表示對(duì)應(yīng)的向量，從而有數(shù)量積為0，進(jìn)而有y₁y₂=-2（y₁+y₂）-20．代入直線AB的方程，即可知直線恒過(guò)定點(diǎn)．
解答：解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)N（x，y）． （1分）
依據(jù)題意，有，．（3分）
又，則，進(jìn)一步有．
因此，y²=4x（x≥0）．      （7分）
所以曲線C的方程是y²=4x（x≥0）．     （8分）
證明 （2）因A、B是曲線C：y²=4x（x≥0）上不同于D點(diǎn)的兩點(diǎn)，
可設(shè)、，則、，．                     （10分）
又DA⊥DB，故，
進(jìn)一步化簡(jiǎn)得y₁y₂=-2（y₁+y₂）-20．        （12分）
由直線AB的法向量為，可得直線AB的方程：，
即．把y₁y₂=-2（y₁+y₂）-20代入此方程，得．（14分）
進(jìn)一步把直線AB的方程化為，知其恒過(guò)定點(diǎn)（5，-2）．（15分）
所以直線AB：恒過(guò)定點(diǎn)，且定點(diǎn)坐標(biāo)為（5，-2）．    （16分）
證畢！
點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，主要考查軌跡方程的求解，考查直線恒過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，關(guān)鍵是用坐標(biāo)表示向量，利用向量的數(shù)量積為0解決，恒過(guò)定點(diǎn)應(yīng)注意其求解的策略．