Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面是一個矩形，△PAD為正三角形．E和F分別是AB和PC的中點．
（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）若AB=4，AD=3，PC=5，求三棱錐C-EFB的體積．

Answer 1

分析：（1）要證EF∥平面PAD，需要證面GEF∥面PAD，需要證

GF∥PD GE∥AD

，易得證明思路．
（2）要求三棱錐C-EFB的體積，需要找出三棱錐的高，需要證明FK⊥平面ABCD?FK∥PH且PH⊥平面ABCD?PH⊥AD且PH⊥HC?PH²+CH²=PC²，找出三棱錐的高后，需計算出高FK長度?FK=

1

2

PH?PH=

3

DH?DH=

1

2

AD?AD=3．

解答：解：（1）取DC的中點G，連接EG、FG，
∵F是PC的中點，G是DC的中點，
∴GF是△PCD的中位線，GF∥PD；
∵G是DC的中點，E是AB的中點，
∴GE是矩形ABCD的中位線，GE∥AD；
GE、GF⊆面GEF，GE與GF相交，∴面GEF∥面PAD，
∵EF⊆面GEF，∴EF∥平面PAD．

（2）由題意知，在正三角形中，取AD的中點H，
∵△PAD為正三角形，∴PH⊥AD，又∵DH=

1

2

AD=

3

2

，
∴在Rt△PHD中，PH=

3

DH=

3 3

2

，
∵CD=AB=4，DH=

1

2

AD=

3

2

，ABCD是矩形，
∴CH²=(

3

2

)2+4²，又∵PC=5
∴PH²+CH²=(

3 3

2

)2+(

3

2

)2+4²=9+16=25=PC²
∴PH⊥HC，又∵AD、HC⊆平面ABCD且AD∩HC=H，

∴PH⊥平面ABCD，
∵FK是三角形PHC的中位線，∴FK∥PH 
∴FK=

1

2

PH=

3 3

4

，F(xiàn)K⊥平面ABCD，
∴V_C-EFB=

1

3

S_△EBCFK=

1

3

×

1

2

×2×3×

3 3

4

=

3 3

4

點評：本題綜合考查了線面平行的判定，線面垂直的判定，棱錐的體積公式等知識點；求棱錐的體積時，重點求高，注意高的找法，本題用了等過三角形的中點和勾股定理找垂直．