Question

25、已知p：x²-4x+3＜0，q：x²-（m+1）x+m＜0，（m＞1）．
（1）求不等式x²-4x+3＜0的解集；
（2）若p是q的充分不必要條件，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）分解因式得（x-1）（x-3）＜0進(jìn)而可求得不等式的范圍為1＜x＜3．
（2）由題意得：因?yàn)椴坏仁椒纸鉃椋▁-m）（x-1）＜0所以討論m與1的大�。�當(dāng)m＞1時(shí)，不等式x²-（m+1）x+m＜0的解是1＜x＜m，由題意得x²-4x+3＜0的解集是x²-（m+1）x+m＜0，（m＞1）解集的真子集，進(jìn)而可得答案．同理討論當(dāng)m＜1時(shí)的情況．

解答：解：（1）因?yàn)閤²-4x+3＜0，所以（x-1）（x-3）＜0，所以1＜x＜3．
所求解集為{x|1＜x＜3}．
（2）由題意得：（x-m）（x-1）＜0
當(dāng)m＞1時(shí)，
不等式x²-（m+1）x+m＜0的解是1＜x＜m，
因?yàn)閜是q的充分不必要條件，
所以x²-4x+3＜0的解集是x²-（m+1）x+m＜0，（m＞1）解集的真子集．
所以m＞3．
當(dāng)m＜1時(shí)，
不等式x²-（m+1）x+m＜0的解是m＜x＜1，
因?yàn)閜是q的充分不必要條件，
所以x²-4x+3＜0的解集是x²-（m+1）x+m＜0，（m＜1）解集的真子集．
因?yàn)楫?dāng)m＜1時(shí) {x|1＜x＜3}∩{x|m＜x＜1}=?，
所以m＜1時(shí)p是q的充分不必要條件不成立．
綜上，m的取值范圍是（3，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題是借助于解含參數(shù)的不等式考查充要條件的知識(shí)，解決含參數(shù)的不等式常用的方法是求出對(duì)應(yīng)方程的根再討論兩個(gè)根的大小即可，而判斷充要條件時(shí)可以把問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)集合之間的關(guān)系．