Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AB=BC=CA=AA₁，D為AB的中點(diǎn)．
（1）求證：BC₁∥平面DCA₁；
（2）求二面角D-CA₁-C₁的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：方法一（1）先做出輔助線，連接AC₁與A₁C交于點(diǎn)K，連接DK，根據(jù)要證明線與面平行，需要在面上找一條和已知直線平行的直線，找到的直線是DK．
（2）根據(jù)二面角D-CA₁-C₁與二面角D-CA₁-A互補(bǔ)，做出輔助線，邊做邊證作GH⊥CA₁，垂足為H，連接DH，則DH⊥CA₁，得到∠DHG為二面角D-CA₁-A的平面角，解出結(jié)果．
方法二（1）以BC的中點(diǎn)O為原點(diǎn)建系，根據(jù)要用的點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出對(duì)應(yīng)的向量的坐標(biāo)，設(shè)出一個(gè)平面的法向量，求出法向量．根據(jù)法向量與已知直線的方向向量的數(shù)量積等于0，得到結(jié)論．
（2）以BC的中點(diǎn)O為原點(diǎn)建系，根據(jù)要用的點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出對(duì)應(yīng)的向量的坐標(biāo)，設(shè)出一個(gè)平面的法向量，根據(jù)法向量與平面上的兩個(gè)向量垂直且數(shù)量積等于0，得到一個(gè)法向量，另一個(gè)平面的法向量可以直接寫出，根據(jù)兩個(gè)平面的法向量所成的角的余弦值求出二面角的余弦值．
解答：（方法一）（1）證明：如圖一，連接AC₁與A₁C交于點(diǎn)K，連接DK．
在△ABC₁中，D、K為中點(diǎn)，∴DK∥BC₁．
又DK?平面DCA₁，BC₁?平面DCA₁，
∴BC₁∥平面DCA₁
（2）解：二面角D-CA₁-C₁與二面角D-CA₁-A互補(bǔ)．
如圖二，作DG⊥AC，垂足為G，
又平面ABC⊥平面ACC₁A₁，∴DG⊥平面ACC₁A₁．
作GH⊥CA₁，垂足為H，連接DH，則DH⊥CA₁，
∴∠DHG為二面角D-CA₁-A的平面角
設(shè)AB=BC=CA=AA₁=2，
在等邊△ABC中，D為中點(diǎn)，∴，在正方形ACC₁A₁中，，
∴，，∴．
∴．
∴所求二面角的余弦值為．

圖一 圖二 圖三
（方法二）（1）證明：如圖三以BC的中點(diǎn)O為原點(diǎn)建系，設(shè)AB=BC=CA=AA₁=2．
設(shè)是平面DCA₁的一個(gè)法向量，
則．又，，
∴．令，∴
∵，∴．
又BC₁?平面DCA₁，∴BC₁∥平面DCA₁．
（2）解：設(shè)是平面CA₁C₁的一個(gè)法向量，
則．又，，
∴．令，∴．
∴．
∴所求二面角的余弦值為．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查立體幾何的相關(guān)知識(shí)，具體涉及到線面的平行關(guān)系、二面角的求法及空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，本題可以利用空間向量來解題從而降低了題目的難度．