Question

15．在直線l₁：ax-y-a+2=0（a∈R），過原點O的直線l₂與l₁垂直，垂足為M，則|OM|的最大值為$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 分a=0或a≠0兩種情況討論，設y=$\frac{{a}^{2}-4a+4}{{a}^{2}+1}$，根據判別式求出y的范圍，即可得到|OM|的最大值

解答 解：直線l₁：ax-y-a+2=0（a∈R），化為y=ax-a+2，則直線l₁的斜率為a，
當a=0時，1₁：y=2，
∵過原點O的直線l₂與l₁垂直，
∴直線l₂的方程為x=0，
∴M（0.2），
∴|OM|=2，
當a≠0時，
則直線l₂的斜率為-$\frac{1}{a}$，
則直線l₂的方程為y=-$\frac{1}{a}$x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=ax-a+2}\\{y=-\frac{1}{a}x}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{a（a-2）}{{a}^{2}+1}$，y=$\frac{2-a}{{a}^{2}+1}$，
∴M（$\frac{a（a-2）}{{a}^{2}+1}$，$\frac{2-a}{{a}^{2}+1}$），
則|OM|=$\sqrt{\frac{（a-2）^{2}}{{a}^{2}+1}}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}-4a+4}{{a}^{2}+1}}$，
設y=$\frac{{a}^{2}-4a+4}{{a}^{2}+1}$，則（1-y）a²-4a+4-y=0，
∴△=16-4（1-y）（4-y）≥0，
解得0≤y≤5，
∴|OM|的最大值為$\sqrt{5}$，
綜上所述：|OM|的最大值為$\sqrt{5}$，
故答案為：$\sqrt{5}$

點評 本題考查了直線方程的垂直的關系和直線與直線的交點和函數的最值得問題，屬于中檔題