Question

已知f（x）=x+

m

x

圖象過點(diǎn)（ 2，4 ），
（1）求f（x）解析式與定義域；
（2）判斷f（x）奇偶性；
（3）已知n≥4，f（x）在[a，a+1]有最小值為n，求正數(shù)a范圍．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)圖象過點(diǎn)（2，4）知f（2）=4，解出m值即可，根據(jù)分母不為0可求定義域；
（2）利用奇偶性的定義即可作出正確判斷；
（3）利用數(shù)形結(jié)合畫出圖象，然后分情況進(jìn)行討論，結(jié)合單調(diào)性即可求得a的范圍；

解答：解：（1）因?yàn)閒（x）的圖象過點(diǎn)（2，4），
所以有f（2）=4，即2+

m

2

=4，解得m=4，
故f（x）=x+

4

x

．定義域?yàn)閧x|x≠0}．
（2）∵x≠0，f（x）+f（-x）=（x+

4

x

）+（-x+

4

-x

）=0，
所以f（-x）=-f（x），
∴f（x）奇函數(shù)．
（3）當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）在（0，2）上遞減，在（2，+∞）上遞增，f（2）=4，f（1）=f（4）=5．
作出函數(shù)f（x）=x+

4

x

在（0，+∞）上的圖象，如下圖所示：
由圖象得①當(dāng)n=4時(shí)，有a≤2≤a+1，解得1≤a≤2．
②當(dāng)4＜n＜5時(shí)，
若1＜a+1＜2，即0＜a＜1，f（x）在[a，a+1]上遞減，f_min（x）=f（a+1）=n，解得a=

n- n2-16

2

-1．
若2＜a＜3，f（x）在[a，a+1]上遞增，f_min（x）=f（a）=a+

4

a

=n，解得a=

n+ n2-16

2

．
③當(dāng)n≥5時(shí)，f（x）在[a，a+1]上遞增，f_min（x）=f（a）=a+

4

a

=n，解得a=

n+ n2-16

2

．
綜上所述，當(dāng)當(dāng)n=4時(shí)，1≤a≤2；當(dāng)4＜n＜5時(shí)，a=

n- n2-16

2

-1或a=

n+ n2-16

2

；當(dāng)n≥5時(shí)，a=

n+ n2-16

2

．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及函數(shù)最值的求解，考查分類討論思想數(shù)形結(jié)合思想，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力，本題具有一定綜合性．