Question

設(shè)兩個(gè)非零向量

a

與

b

不共線．
（1）若

AB

=

a

+

b

，

BC

=2

a

+8

b

，

CD

=3(

a

-

b

)，求證：A，B，D三點(diǎn)共線；
（2）試確定實(shí)數(shù)k，使k

a

+

b

和

a

+k

b

共線．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)所給的三個(gè)首尾相連的向量，用其中兩個(gè)相加，得到兩個(gè)首尾相連的向量，根據(jù)表示這兩個(gè)向量的基底，得到兩個(gè)向量之間的共線關(guān)系，從而得到三點(diǎn)共線．
（2）兩個(gè)向量共線，寫出向量共線的充要條件，進(jìn)而得到關(guān)于實(shí)數(shù)k的等式，解出k的值，有兩個(gè)結(jié)果，這兩個(gè)結(jié)果都合題意．

解答：解：（1）∵

BD

=

BC

+

CD

=2

a

+8

b

+3(

a

-

b

)
=5

a

+5

b

=5

AB

，
∴

BD

與

AB

共線
兩個(gè)向量有公共點(diǎn)B，
∴A，B，D三點(diǎn)共線．
（2）∵k

a

+

b

和

a

+k

b

共線，則存在實(shí)數(shù)λ，使得k

a

+

b

=λ（

a

+k

b

），
即(k-λ)

a

+(1-λk)

b

=

0

，
∵非零向量

a

與

b

不共線，
∴k-λ=0且1-λk=0，
∴k=±1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量共線定理，是一個(gè)基礎(chǔ)題，本題從兩個(gè)方面解讀向量的共線定理，一是證明向量共線，一是根據(jù)兩個(gè)向量共線解決有關(guān)問題．