Question

雙曲線x²-y²=a²（a＞0）的左焦點F₁，右焦點F₂．過F₁做傾斜角為α的弦BC，其中α∈(

π

4

 ， 

π

2

]，當△F₂BC面積最小值為4

2

時，求a的值．

Answer 1

分析：由題意可得.F1(-

2

a ， 0)，F2(

2

a ， 0)．設(shè)直線BC的方程為：x=my-

2

a，其中m=cotα．代入雙曲線的方程x²-y²=a²，并整理得； (m2-1)y2-2

2

may+a2=0．設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）則由 y1+y2=

2 2 ma

m2-1

，y1•y2=

a2

m2-1

.S△F2BC=

1

2

|F1F2|•|y1-y2|=

2

a•|y1-y2|結(jié)合α得范圍可求m得范圍，進而可面積得最小值，從而可求a

解答：解：.F1(-

2

a ， 0)，F2(

2

a ， 0)．
設(shè)直線BC的方程為：x=my-

2

a，其中m=cotα．
代入雙曲線的方程x²-y²=a²，并整理得； (m2-1)y2-2

2

may+a2=0．
設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則有； y1+y2=

2 2 ma

m2-1

，y1•y2=

a2

m2-1

.S△F2BC=

1

2

|F1F2|•|y1-y2|=

2

a•|y1-y2|=

2

a•

[(y1+y2)2-4y1y2]

=

2

a•

[( 2 2 ma m2-1 )2-4• a2 m2-1 ]

=2a•

1+m2

1-m2

．
∵α∈(

π

4

 ， 

π

2

]，∴0≤m＜1．
當m=0時，S△F2BC取得最小值2

2

a2．
由條件知，2

2

a2=4

2

∵a＞0，∴a=

2

．

點評：本題主要考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的應用，解題中要注意在設(shè)直線方程時的設(shè)法，直線方程為：x=my-

2

a得好處在于避免討論，要注意掌握應用．