已知函數(shù)
(1)若函數(shù)h(x)=f′(x)-g′(x)是其定義域上的增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)若g(x)是奇函數(shù),且g(x)的極大值是,求函數(shù)g(x)在區(qū)間[-1,m]上的最大值;
(3)證明:當(dāng)x>0時(shí),
【答案】分析:(1)先對(duì)函數(shù)f(x)、g(x)進(jìn)行求導(dǎo)表示出函數(shù)h(x)的解析式,再對(duì)函數(shù)h(x)進(jìn)行求導(dǎo),令導(dǎo)函數(shù)大于0求滿足條件的a的范圍即可得到答案.
(2)先根據(jù)g(x)是奇函數(shù)求出a=c=0,然后對(duì)函數(shù)g(x)進(jìn)行求導(dǎo),根據(jù)在x=出取極值可確定b的值,從而得到函數(shù)g(x)的解析式,然后對(duì)函數(shù)g(x)求導(dǎo),根據(jù)函數(shù)g(x)的單調(diào)性可解題.
(3)將問題轉(zhuǎn)化為證明對(duì)x>0恒成立,對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo),根據(jù)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)確定f(x)的最小值;同樣求出的最大值,二者比較大小可證.
解答:解:(1)f'(x)=lnx+1,g'(x)=-2x2+ax-3b,所以h(x)=lnx+2x2-ax+3b+1,
由于h(x)是定義域內(nèi)的增函數(shù),故恒成立,
對(duì)?x>0恒成立,又(x=2時(shí)取等號(hào)),故a∈(-∞,4].
(2)由g(x)是奇函數(shù),則g(x)+g(-x)=0對(duì)?x>0恒成立,從而a=c=0,
所以,有g(shù)'(x)=-2x2-3b.
由g(x)極大值為,即,從而;
因此,即,
所以函數(shù)g(x)在上是減函數(shù),在上是增函數(shù).
由g(x)=0,得x=±1或x=0,因此得到:
當(dāng)-1<m<0時(shí),最大值為g(-1)=0;
當(dāng)時(shí),最大值為;
當(dāng)時(shí),最大值為
(3)問題等價(jià)于證明對(duì)x>0恒成立;
f'(x)=lnx+1,所以當(dāng)時(shí),f'(x)<0,f(x)在上單調(diào)減;
當(dāng)時(shí),f'(x)>0,f(x)在上單調(diào)增;
所以f(x)在(0,+∞)上最小值為(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得)
設(shè),則,得m(x)最大值(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取得),
又f(x)得最小值與m(x)的最大值不能同時(shí)取到,所以結(jié)論成立.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系,即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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已知函數(shù)

1的最;

2當(dāng)函數(shù)自變量的取值區(qū)間與對(duì)應(yīng)函數(shù)值的取值區(qū)間相同時(shí),這樣的區(qū)間稱為函數(shù)的保值區(qū)間.設(shè),試問函數(shù)上是否存在保值區(qū)間?若存在,請(qǐng)求出一個(gè)保值區(qū)間;若不存在,請(qǐng)說明理由.

 

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已知函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052222400076562750/SYS201205222241225937291841_ST.files/image002.png">,部分函數(shù)值如表所示,其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示,若正數(shù),滿足,則的取值范圍是(  )

-3

0

6

1

1

 

 

 

 

 

A.            B.           C.    D.

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014屆湖南省高一12月月考數(shù)學(xué) 題型:解答題

(本題滿分14分)定義在D上的函數(shù),如果滿足;對(duì)任意,存在常數(shù),都有成立,則稱是D上的有界函數(shù),其中M稱為函數(shù)的上界。

已知函數(shù),

(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)上的值域,并判斷函數(shù)上是否為有界函數(shù),請(qǐng)說明理由;

(2)若函數(shù)上是以3為上界函數(shù)值,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(3)若,求函數(shù)上的上界T的取值范圍。

 

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(本題滿分14分)定義在D上的函數(shù),如果滿足;對(duì)任意,存在常數(shù),都有成立,則稱是D上的有界函數(shù),其中M稱為函數(shù)的上界。

已知函數(shù),

(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)上的值域,并判斷函數(shù)上是否為有界函數(shù),請(qǐng)說明理由;

(2)若函數(shù)上是以3為上界函數(shù)值,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(3)若,求函數(shù)上的上界T的取值范圍。

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(本小題滿分12分

)已知函數(shù)                                       ,(>0),若函

    數(shù)的最小正周期為

(1)求的值,并求函數(shù)的最大值;

(2)若0<x<,當(dāng)f(x)=時(shí),求的值.

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