Question

已知數列{a_n}滿足a₁=1，a₃+a₇=18，且a_n-1+a_n+1=2a_n（n≥2）．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若c_n=2^n-1•a_n，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

解：（Ⅰ）由a_n-1+a_n+1=2a_n（n≥2）知，數列{a_n}是等差數列，
設其公差為d，（2分）
則，
所以，（4分）a_n=a₁+（n-1）d=2n-1，
即數列{a_n}的通項公式為a_n=2n-1．（6分）
（Ⅱ）c_n=（2n-1）•2^n-1，
T_n=c₁+c₂+…+c_n=1×2⁰+3×2+5×2²+…+（2n-1）×2^n-1，
2T_n=1×2¹+3×2²++（2n-3）×2^n-1+（2n-1）×2ⁿ，
相減得-T_n=1+2（2¹+2²+2³++2^n-1）-（2n-1）•2ⁿ，（9分）
整理得，
所以T_n=（2n-3）•2ⁿ+3．（12分）
分析：（Ⅰ）由a_n-1+a_n+1=2a_n（n≥2）知，數列{a_n}是等差數列，設其公差為d，則，由此能求出數列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）c_n=（2n-1）•2^n-1，T_n=c₁+c₂+…+c_n=1×2⁰+3×2+5×2²+…+（2n-1）×2^n-1，由錯位相減法得-T_n=1+2（2¹+2²+2³++2^n-1）-（2n-1）•2ⁿ，由此能求出數列{c_n}的前n項和T_n．
點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意遞推公式的合理運用．