Question

已知

A

5 n

=56

C

7 n

，且（1-2x）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ．
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）求a₁+a₂+a₃+…+a_n的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意，將

A

5 n

=56

C

7 n

按排列、組合公式展開化簡可得（n-5）（n-6）=90，解可得：n=15或n=-4，又由排列、組合數(shù)的定義，可得n的范圍，即可得答案；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中求得n的值，可得（1-2x）¹⁵=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a₁₅x¹⁵，令x=1可得a₀+a₁+a₂+a₃+…+a₁₅=-1，令令x=0得a₀=1，兩式相減可得答案．

解答：解：（Ⅰ）根據(jù)題意，
由

A

5 n

=56

C

7 n

得：n（n-1）（n-2）（n-3）（n-4）=56•

n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)

7•6•5•4•3•2•1

即（n-5）（n-6）=90
解之得：n=15或n=-4（舍去）．
∴n=15．
（Ⅱ）當(dāng)n=15時，由已知有（1-2x）¹⁵=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a₁₅x¹⁵，
令x=1得：a₀+a₁+a₂+a₃+…+a₁₅=-1，
令x=0得：a₀=1，
∴a₁+a₂+a₃+…+a₁₅=-2．

點評：本題考查二項式定理的應(yīng)用、二項式系數(shù)的性質(zhì)，解題時要注意排列、組合數(shù)的定義、性質(zhì)，其次注意靈活運用賦值法．