Question

在曲線C：y=x²（x≥0）上某一點A處作一切線l，l交x軸于B(

1

2

，0)，
試求：（1）切點A的坐標；
（2）曲線C與切線l以及x軸所圍的圖形面積S

Answer 1

分析：（1）欲求切點A的坐標，設切點為A（x₀，y₀），只須求出其斜率，再利用導數(shù)求出在切點處的導函數(shù)值，再結(jié)合導數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率得切線方程．最后利用切線l交x軸于B(

1

2

，0)可使問題解決．
（2）欲求曲線C與切線l以及x軸所圍的圖形面積S，先將其化為：S=S_曲邊△OAB-S_△CAB，最后利用不定積分求其面積即可．

解答：解：（1）設切點為A（x₀，y₀），由y'=2x，
得切線方程為y-y₀=2x₀（x-x₀）（2分）
又由y₀=x₀²可得切線方程為y=2xx₀-x₀²（3分）
令y=0得x=

x0

2

即得C點坐標為(

x0

2

，0)
由

x0

2

=

1

2

⇒x0=1∴A（1，1）（5分）
（2）所圍圖形面積為
S=S_曲邊△OAB-S_△CAB=

∫

x0 0

x2dx-

1

2

(x0-

x0

2

)x02（8分）
=

1

3

x03-

1

4

x03=

1

12

x03=

1

12

（10分）

點評：本小題主要考查函定積分的簡單應用、利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程、直線方程等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎題．