Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=

7

2

，且a_n+1=

1

2

a_n+

1

4

，S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求證：S_n≥

7

2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a_n+1=

1

2

a_n+

1

4

，變形為an+1-

1

2

=

1

2

(a n-

1

2

)，可得數(shù)列{an-

1

2

}是等比數(shù)列，利用其通項公式即可得出；
（Ⅱ）利用等比數(shù)列的前n項和公式可得S_n，再利用S_n單調(diào)性即可證明．

解答：（Ⅰ）解：由a_n+1=

1

2

a_n+

1

4

，變形為an+1-

1

2

=

1

2

(a n-

1

2

)，
∴數(shù)列{an-

1

2

}是以a1-

1

2

=

7

2

-

1

2

=3為首項，公比為

1

2

的等比數(shù)列，
∴an-

1

2

=3×(

1

2

)n-1，即an=3×(

1

2

)n-1+

1

2

．
（Ⅱ）證明：∵an=3×(

1

2

)n-1+

1

2

．
∴Sn=3(1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

)+

n

2

=

3(1- 1 2n )

1- 1 2

+

n

2

=6(1-

1

2n

)+

n

2

．
由于數(shù)列{

1

2n

}是關(guān)于n的單調(diào)遞減數(shù)列，{

n

2

}是關(guān)于n的單調(diào)遞增數(shù)列，
∴S_n是單調(diào)遞增數(shù)列，
∴S_n≥S₁=6×(1-

1

2

)+

1

2

=

7

2

．

點評：本題考查了可化為等比數(shù)列的數(shù)列的通項公式的求法、等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、數(shù)列的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于中檔題．