Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1，k∈R）是奇函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)k的值；
（2）若f（1）=

3

2

，且g（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x）在[1，+∞）上的最小值為-2，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)f（x）是奇函數(shù)，得出f（0）=0，進(jìn)而求出k的值．
（2）先通過f（1）=

3

2

求出a的值．令t=f（x）=2^x-2^-x，轉(zhuǎn)換成關(guān)于t的二次函數(shù)．對稱軸為t=m．又因?yàn)閠=f（x）=2^x-2^-x≤

3

2

，就要看g（x）取最小值時(shí)t能否取到m．

解答：解：（1）∵f（x）為奇函數(shù)，
∴f（0）=0
∴k-1=0，
∴k=1
（2）∵f（1）=

3

2

，
∴a-

1

a

=

3

2

，
即2a²-3a-2=0
∴a=2或a=-

1

2

（舍去）
∴g（x）=2^2x+2^-2x-2m（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-2m（2^x-2^-x）+2
令t=f（x）=2^x-2^-x
∵x≥1
∴t≥f（1）=

3

2

∴g（x）=t²-2mt+2=（t-m）²+2-m²
當(dāng)m≥

3

2

時(shí)，當(dāng)t=m時(shí)，g（x）_min=2-m²=-2
∴m=2
當(dāng)m＜

3

2

時(shí)，當(dāng)t=

3

2

時(shí)，g（x）_min=

17

4

-3m=-2
m=

25

12

＞

3

2

，舍去
∴m=2

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用．此類題常與函數(shù)的對稱性、單調(diào)性、周期性一塊考查．