Question

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，設(shè)點(diǎn)F（1，0），直線(xiàn)l：x=-1，點(diǎn)P在直線(xiàn)l上移動(dòng)，R是線(xiàn)段PF與y軸的交點(diǎn)，RQ⊥FP，PQ⊥l．
（1）求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡的方程；
（2）記Q的軌跡的方程為E，過(guò)點(diǎn)F作兩條互相垂直的曲線(xiàn)E的弦AB、CD，設(shè)AB、CD的中點(diǎn)分別為M，N．求證：直線(xiàn)MN必過(guò)定點(diǎn)R（3，0）．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知條件知，點(diǎn)R是線(xiàn)段FP的中點(diǎn)，RQ是線(xiàn)段FP的垂直平分線(xiàn)，點(diǎn)Q的軌跡E是以F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，寫(xiě)出拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）設(shè)出直線(xiàn)AB的方程，把A、B坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)方程，再利用中點(diǎn)公式求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，同理可得N的坐標(biāo)，求出直線(xiàn)MN的斜率，得到直線(xiàn)MN的方程并化簡(jiǎn)，可看出直線(xiàn)MN過(guò)定點(diǎn)．
解答：解：（Ⅰ）依題意知，直線(xiàn)l的方程為：x=-1，設(shè)直線(xiàn)l與x軸交于點(diǎn)K（-1，0），由OK平行于直線(xiàn)l可得，
OR是△FPK的中位線(xiàn)，故點(diǎn)R是線(xiàn)段FP的中點(diǎn)．
又RQ⊥FP，∴RQ是線(xiàn)段FP的垂直平分線(xiàn)．∴|PQ|是點(diǎn)Q到直線(xiàn)l的距離．
∵點(diǎn)Q在線(xiàn)段FP的垂直平分線(xiàn)，∴|PQ|=|QF|．
故動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡E是以F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，其方程為：y²=4x（x＞0）．
（Ⅱ）設(shè)A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），M（x_M，y_M），N（x_N，y_N），直線(xiàn)AB的方程為y=k（x-1）
則（1）-（2）得，即，
代入方程y=k（x-1），解得．  所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為．
同理可得：N的坐標(biāo)為（2k²+1，-2k）．    直線(xiàn)MN的斜率為，
方程為；，整理得y（1-k²）=k（x-3），
顯然，不論k為何值，（3，0）均滿(mǎn)足方程，所以直線(xiàn)MN恒過(guò)定點(diǎn)R（3，0）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程的求法、拋物線(xiàn)的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，屬于難題．