Question

若函數(shù)f（x）=-3x+x³
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若方程f（x）=a（a為實(shí)數(shù)）在R上有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）-3x+x³=2?x³-3x-2=0?x³+1-3x-3=0?（x+1）²（x-2）=0?x₁=x₂=-1，x₃=2．…（4分）
（Ⅱ）由f'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）=0，得x=1或x=-1．
當(dāng)x＜-1或x＞1時(shí)，f'（x）＞0；當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，f'（x）＜0，所以在（-∞，-1]和[1，+∞）
上f（x）單調(diào)遞增，在[-1，1]上f（x）單調(diào)遞減，在R上f（x）的極大值為f（-1）=2，
在R上f（x）的極小值為f（1）=-2…（8分）
函數(shù)方程f（x）=a在R上有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即直線y=a與函數(shù)f（x）=-3x+x³的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，
由f（x）的大致圖象可知，當(dāng)a＜-2或a＞2時(shí)，直線y=a與函數(shù)f（x）=-3x+x³的圖象沒有交點(diǎn)；
當(dāng)a=-2或a=2時(shí)，y=a與函數(shù)f（x）=-3x+x³的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)-2＜a＜2時(shí)，直線y=a與函數(shù)f（x）=-3x+x³的圖象有三個(gè)交點(diǎn)．
因此實(shí)數(shù)a的取值范圍是-2＜a＜2．
分析：（I）先求導(dǎo)數(shù)fˊ（x）然后在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間，fˊ（x）＜0的區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間．
（II）把判斷方程f（x）=a何時(shí)有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根的問題，轉(zhuǎn)化為判斷兩個(gè)函數(shù)何時(shí)有三個(gè)不同交點(diǎn)的問題，數(shù)形結(jié)合，問題得解．
點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，利用圖象判斷方程的根的個(gè)數(shù)．利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的步驟是：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)fˊ（x）；（3）在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．若在函數(shù)式中含字母系數(shù)，往往要分類討論．