Question

設(shè)函數(shù)f（x）=-x³+3x+2分別在x₁、x₂處取得極小值、極大值．xOy平面上點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（x₁，f（x₁））、（x₂，f（x₂）），該平面上動(dòng)點(diǎn)P滿足

PA

•

PB

=4，點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于直線y=2（x-4）的對(duì)稱點(diǎn)．求
（Ⅰ）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
（Ⅱ）求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程．

Answer 1

分析：（I）令f′（x）=0求出x的解，然后根據(jù)駐點(diǎn)分區(qū)間討論函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值，得到A、B的坐標(biāo)；
（Ⅱ）設(shè)p（m，n），Q（x，y），由

PA

•

PB

=4，得

y-n

x-m

=-

1

2

，又因?yàn)镻Q的中點(diǎn)在y=2（x-4）上，得

y+m

2

=2(

x+n

2

-4)消去m、n即可得到動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程．

解答：解：（Ⅰ）令f'（x）=（-x³+3x+2）'=-3x²+3=0，
解得：x=1或x=-1
當(dāng)x＜-1時(shí)，f'（x）＜0，
當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，f'（x）＞0，
當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）＜0
所以，函數(shù)在x=-1處取得極小值，在x=1取得極大值，
故x₁=-1，x₂=1，f（-1）=0，f（1）=4
所以，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為A（-1，0），B（1，4）．
（Ⅱ）設(shè)p（m，n），Q（x，y），
∴

PA

•

PB

=(-1-m，-n)•(1-m，4-n)=m2-1+n2-4n=4，
∴kPQ=-

1

2

，即

y-n

x-m

=-

1

2

，
又PQ的中點(diǎn)在y=2（x-4）上，
所以

y+m

2

=2(

x+n

2

-4)
消去m，n得（x-8）²+（y+2）²=9

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力，會(huì)用平面內(nèi)兩個(gè)向量數(shù)量積的運(yùn)算，以及會(huì)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的能力．