Question

13．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且（$\sqrt{3}$c-2b）cos（π-A）=$\sqrt{3}$acosC，
（1）求角A的值；
（2）若角B=$\frac{π}{6}$，BC邊上的中線AM的長為$\sqrt{7}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理將邊化角，使用和角公式化簡即可得出cosA；
（2）使用余弦定理解出等腰三角形的腰長，代入面積公式計算．

解答 解：（1）在△ABC中，∵（$\sqrt{3}$c-2b）cos（π-A）=$\sqrt{3}$acosC，
∴（2sinB-$\sqrt{3}$sinC）cosA=$\sqrt{3}$sinAcosC，
即2sinBcosA=$\sqrt{3}$sinAcosC+$\sqrt{3}$sinCcosA=$\sqrt{3}$sin（A+C）=$\sqrt{3}$sinB．
∴cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．∴A=$\frac{π}{6}$．
（2）∵A=B=$\frac{π}{6}$，∴AC=BC，C=$\frac{2π}{3}$．設(shè)CM=x，則AC=2x，
在△ACM中，由余弦定理得AM²=AC²+CM²-2AC•CMcosC，
即7=4x²+x²+2x²，解得x=1，∴AC=BC=2．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}AC•BCsinC$=$\frac{1}{2}×2×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題．