【題目】如圖,矩形中,為的中點,將沿直線翻折成,連結,為的中點,則在翻折過程中,下列說法中所有正確的是( )
A.存在某個位置,使得
B.翻折過程中,的長是定值
C.若,則
D.若,當三棱錐的體積最大時,三棱錐的外接球的表面積是
【答案】BD
【解析】
對于選項A,取中點,取中點,連結,,通過假設,推出平面,得到,則,即可判斷;
對于選項B,在判斷A的圖基礎上,連結交于點,連結,易得,由余弦定理,求得為定值即可;
對于選項C,取中點,,,由線面平行的性質定理導出矛盾,即可判斷;
對于選項D,易知當平面與平面垂直時,三棱錐的體積最大,說明此時中點為外接球球心即可.
如圖1,取中點,取中點,連結交于點,連結,,,
則易知,,,,,
由翻折可知,,,
對于選項A,易得,則、、、四點共面,由題可知,若,可得平面,故,則,不可能,故A錯誤;
對于選項B,易得,
在中,由余弦定理得,
整理得,
故為定值,故B正確;
如圖2,取中點,取中點,連結,,,,,
對于選項C,由得,若,易得平面,故有,從而,顯然不可能,故C錯誤;
對于選項D,由題易知當平面與平面垂直時,三棱錐B1﹣AMD的體積最大,此時平面,則,由,易求得,,故,因此,為三棱錐的外接球球心,此外接球半徑為,表面積為,故D正確.
故選:BD.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面ABCD,底面ABCD是等腰梯形,,.
(1)證明:平面PAC;
(2)若,,設,且,求四棱錐P-ABCD的體積.
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【題目】欲設計如圖所示的平面圖形,它由上、下兩部分組成,其中上部分是弓形(圓心為,半徑為,,),下部分是矩形.
(1)若,求該平面圖形的周長的最大值;
(2)若,試確定的值,使得該平面圖形的面積最大.
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【題目】如圖,已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面,平面平面,且,且.
(1)設點為棱中點,在面內是否存在點,使得平面?若存在,請證明,若不存在,說明理由;
(2)求二面角的余弦值.
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【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為,,過點的直線與橢圓交于兩點,延長交橢圓于點,的周長為8.
(1)求的離心率及方程;
(2)試問:是否存在定點,使得為定值?若存在,求;若不存在,請說明理由.
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【題目】某醫(yī)科大學實習小組為研究實習地晝夜溫差與患感冒人數之間的關系,分別到當地氣象部門和某醫(yī)院抄錄了1月份至3月份每月5日、20日的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數,得到如表資料:
日期 | 1月5日 | 1月20日 | 2月5日 | 2月20日 | 3月5日 | 3月20日 |
晝夜溫差() | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 | 6 |
就診人數(人) | 22 | 25 | 29 | 26 | 16 | 12 |
該小組確定的研究方案是:先從這六組數據中隨機選取4組數據求線性回歸方程,再用剩余的2組數據進行檢驗.
(1)求剩余的2組數據都是20日的概率;
(2)若選取的是1月20日,2月5日,2月20日,3月5日四組數據.
①請根據這四組數據,求出關于的線性回歸方程(,用分數表示);
②若某日的晝夜溫差為,預測當日就診人數約為多少人?
附參考公式:,.
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【題目】某校從2011年到2018年參加“北約”,“華約”考試而獲得加分的學生(每位學生只能參加“北約”,“華約”一種考試)人數可以通過以下表格反映出來.(為了方便計算,將2011年編號為1,2012年編號為2,依此類推……)
年份x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
人數y | 2 | 3 | 4 | 4 | 7 | 7 | 6 | 6 |
(1)據悉,該校2018年獲得加分的6位同學中,有1位獲得加20分,2位獲得加15分,3位獲得加10分,從該6位同學中任取兩位,記該兩位同學獲得的加分之和為X,求X的分布列及期望.
(2)根據最近五年的數據,利用最小二乘法求出y與x之間的線性回歸方程,并用以預測該校2019年參加“北約”,“華約”考試而獲得加分的學生人數.(結果要求四舍五入至個位)
參考公式:
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某產品的三個質量指標分別為x, y, z, 用綜合指標S =" x" + y + z評價該產品的等級. 若S≤4, 則該產品為一等品. 現從一批該產品中, 隨機抽取10件產品作為樣本, 其質量指標列表如下:
產品編號 | A1 | A2 | A3 | A4 | A5 |
質量指標(x, y, z) | (1,1,2) | (2,1,1) | (2,2,2) | (1,1,1) | (1,2,1) |
產品編號 | A6 | A7 | A8 | A9 | A10 |
質量指標(x, y, z) | (1,2,2) | (2,1,1) | (2,2,1) | (1,1,1) | (2,1,2) |
(Ⅰ) 利用上表提供的樣本數據估計該批產品的一等品率;
(Ⅱ) 在該樣品的一等品中, 隨機抽取兩件產品,
(1) 用產品編號列出所有可能的結果;
(2) 設事件B為 “在取出的2件產品中, 每件產品的綜合指標S都等于4”, 求事件B發(fā)生的概率.
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