Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，且AB∥CD，AB⊥AD，AD=CD=2AB=2．側(cè)△PAD為正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD．
（1）若M為PC上一動點(diǎn)，則M在何位置時(shí)，PC⊥平面MDB？并加已證明；
（2）若G為△PBC的重心，求二面角G-BD-C大小．

Answer 1

分析：（1）由題目給出的PD=DC，猜想M應(yīng)為PC的中點(diǎn)，因?yàn)椤鱌AD為正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，過P作PN⊥AD后，連接BN，在直角三角形PNB中求出PB，解直角梯形求出BC，說明BM⊥PC，從而說明猜想的正確性；
（2）根據(jù)G是△PBC的重心，把求二面角G-BD-C的大小轉(zhuǎn)化為求二面角M-BD-C的大小，由PC垂直于平面PBD，垂足是M，可直接過M作作BD的垂線找二面角的平面角，最后通過解直角三角形求解二面角的大小．

解答：解：（1）如圖，當(dāng)M為PC的中點(diǎn)時(shí)，PC⊥平面MDB．
事實(shí)上，連BM，DM，取AD的中點(diǎn)N，連NB，NP．
因?yàn)椤鱌AD為正三角形，N為AD中點(diǎn)，所以PN⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，所以PN⊥平面ABCD．
在Rt△PNA中，由PA=2，AN=1，得PN=

3

，
在Rt△BAN中，由AN=AB=1，得NB=

2

，
在Rt△PNB中，由PN=

3

，NB=

2

，
則PB=

PN2+NB2

=

( 3 )2+( 2 )2

=

5

．
在直角梯形ABCD中，由AD=CD=2AB=2，解得BC=

5

．
所以BM⊥PC，
又PD=DC=2，所DM⊥PC，
而MD∩BM=M，MD，BM?平面MDB，
所PC⊥平面MDB；
（2）由G為△PBC的重心，可知G在中線BM上，
所以二面角G-BD-C即為二面角M-BD-C．
過M作MF⊥BD于F，連CF，
因?yàn)镻C⊥平面MDB，所以PC⊥BD，又MF⊥BD，MF∩PC=M
所以BD⊥面MFC，所以CF⊥BD，
故∠MFC是二面角G-BD-C的平面角．
在等腰△BDC中，BD=

5

，DC=2，BC=

5

，
所以cos∠DBC=

( 5 )2+( 5 )2-22

2× 5 × 5

=

3

5

．
sin∠DBC=

4

5

．
所以

1

2

BD•CF=

1

2

BD•BC•sin∠DBC
所以CF=BC•sin∠DBC=

4 5

5

，
在Rt△PDC中，由PD=DC=2，得PC=2

2

，則MC=

2

．
所以sin∠MFC=

MC

FC

=

2

4 5 5

=

10

4

，
故二面角G-BD-C的大小為arcsin

10

4

．

點(diǎn)評：本題考查了面面垂直的性質(zhì)，考查了二面角的平面角的求法，綜合考查了學(xué)生的空間想象能力和思維能力，“尋找垂面，構(gòu)造垂線”是找二面角的平面角最為有效的方法，此題是中檔題．