Question

公民在就業(yè)的第一年就交納養(yǎng)老儲(chǔ)備金a₁，以后每年交納的數(shù)目均比上一年增加d（d＞0），歷年所交納的儲(chǔ)備金數(shù)目a₁，a₂，…是一個(gè)公差為d的等差數(shù)列．與此同時(shí)，國家給予優(yōu)惠的計(jì)息政策，不僅采用固定利率，而且計(jì)算復(fù)利．如果固定年利率為r（r＞0），那么，在第n年末，第一年所交納的儲(chǔ)備金就變?yōu)閍₁（1+r）^n-1，第二年所交納的儲(chǔ)備金就變?yōu)閍₂（1+r）^n-2，…以T_n表示到第n年末所累計(jì)的儲(chǔ)備金總額．
求證：T_n=A_n+B_n，其中{A_n}是一個(gè)等比數(shù)列，{B_n}是一個(gè)等差數(shù)列．

Answer 1

【答案】分析：這是一個(gè)綜合考查數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用題，要求證T_n可以表示為A_n+B_n的形式，其中{A_n}是一個(gè)等比數(shù)列，{B_n}是一個(gè)等差數(shù)列．我們要根據(jù)已知中T_n所表示的實(shí)際意義，根據(jù)T_n表示到第n年末所累計(jì)的儲(chǔ)備金總額，及儲(chǔ)備金總額的計(jì)算方法計(jì)算T_n，然后對(duì)其進(jìn)行分解，并對(duì)分解結(jié)合等差數(shù)列等比數(shù)列的定義進(jìn)行分析，不難臨到結(jié)果．
解答：解：T₁=a₁，對(duì)n≥2反復(fù)使用上述關(guān)系式，得
T_n=T_n-1（1+r）+a_n=T_n-2（1+r）²+a_n-1（1+r）+a_n═a₁（1+r）^n-1+a₂（1+r）^n-2++a_n-1（1+r）+a_n，①
在①式兩端同乘1+r，得（1+r）T_n=a₁（1+r）ⁿ+a₂（1+r）^n-1++a_n-1（1+r）²+a_n（1+r）②
②-①，得rT_n=a₁（1+r）ⁿ+d[（1+r）^n-1+（1+r）^n-2++（1+r）]-a_n=．
即．
如果記，，
則T_n=A_n+B_n．
其中{A_n}是以為首項(xiàng)，以1+r（r＞0）為公比的等比數(shù)列；
{B_n}是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．
點(diǎn)評(píng)：判斷一個(gè)數(shù)列是否是等差（比）數(shù)列，我們有如下辦法：①定義法②通項(xiàng)公式法（如本題）③前n項(xiàng)和公式法④等差（比）中項(xiàng)法．