Question

已知橢圓M：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的面積為πab，M包含于平面區(qū)域Ω：

|x|≤2 |y|≤ 3

內(nèi)，向平面區(qū)域Ω內(nèi)隨機投一點Q，點Q落在橢圓內(nèi)的概率為

π

4

．
（Ⅰ）試求橢圓M的方程；
（Ⅱ）若斜率為

1

2

的直線l與橢圓M交于C、D兩點，點P(1，  

3

2

)為橢圓M上一點，記直線PC的斜率為k₁，直線PD的斜率為k₂，試問：k₁+k₂是否為定值？請證明你的結(jié)論、

Answer 1

分析：（Ⅰ）平面區(qū)域Ω：

|x|≤2 |y|≤ 3

是一個矩形區(qū)域，如圖所示．
依題意及幾何概型，可得

πab

8 3

=

π

4

，由此可導(dǎo)出橢圓M的方程．
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為：y=

1

2

x+b，C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）
聯(lián)立直線l'的方程與橢圓方程得：

y= 1 2 x+b(1) x2 4 + y2 3 =1(2)

，
∴3x2+4(

1

2

x+b)2=12，
然后結(jié)合題設(shè)條件，由根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系能夠推導(dǎo)出k₁+k₂為定值0．

解答：解：（Ⅰ）平面區(qū)域Ω：

|x|≤2 |y|≤ 3

是一個矩形區(qū)域，如圖所示．
依題意及幾何概型，可得

πab

8 3

=

π

4

，
即ab=2

3

．
因為0＜a≤2，0＜b≤

3

，
所以，a=2，b=

3

．
所以，橢圓M的方程為

x2

4

+

y2

3

=1
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為：y=

1

2

x+b，C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）
聯(lián)立直線l'的方程與橢圓方程得：

y= 1 2 x+b(1) x2 4 + y2 3 =1(2)

（1）代入（2）得：3x2+4(

1

2

x+b)2=12
化簡得：x²+bx+b²-3=0）
當(dāng)△＞0時，即，b²-4（b²-3）＞0
也即，|b|＜2時，直線l'與橢圓有兩交點，
由韋達(dá)定理得：

x1+x2=-b x1•x2=b2-3

，
所以，k1=

y1- 3 2

x1-1

=

1 2 x1+b- 3 2

x1-1

，
k2=

y2- 3 2

x2-1

=

1 2 x2+b- 3 2

x2-1

則k₁+k₂=

1 2 x1+b- 3 2

x1-1

+

1 2 x2+b- 3 2

x2-1

=

x1•x2+(b-2)(x1+x2)+3-2b

(x1-1)(x2-1)

=

b2-3+(b-2)(-b)+3-2b

(x1-1)(x2-1)

=0
所以，k₁+k₂為定值．

點評：本題綜合考查橢圓的性質(zhì)及應(yīng)用和直線 與橢圓的位置關(guān)系，解題時要認(rèn)真審題、仔細(xì)解答，避免出現(xiàn)不必要的錯誤．