Question

若關(guān)于x的方程x²+ax+b=0有兩個(gè)根，一個(gè)根在區(qū)間（0，1）內(nèi)，另一根在區(qū)間（1，3）內(nèi)，記點(diǎn)（a，b）對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)镾．
（1）設(shè)z=2a-b，求z的取值范圍；
（2）若點(diǎn)（a，b）∈S，求y=

4a2-4ab+b2+4028a-2014b+49

2a-b

的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令f（x）=x²+ax+b，根據(jù)題意可知f（0）＞0，f（1）＜0，f（3）＞0，進(jìn)而求得b＞0，a+b+1＜0，3a+b+9＞0，畫出可行域，進(jìn)而分別求得z的最大和最小值，答案可得．
（2）令x=2a-b∈（-11，-2），則y=x+

49

x

+2014，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)求得函數(shù)y在（-11，-7）上是增函數(shù)，在（-7，-2）上是減函數(shù)，從而求得函數(shù)y的值域．

解答： 解：（1）設(shè)f（x）=x²+ax+b，則由題意可得f（x）的零點(diǎn)一個(gè)在區(qū)間（0，1）內(nèi)，另一個(gè)在區(qū)間（1，3）內(nèi)，
故有

f(0)=b＞0 f(1)=a+b+1＜0 f(3)=3a+b+9＞0

，即

b＞0 a+b+1＜0 3a+b+9＞0

，由線性規(guī)劃的知識(shí)畫出可行域：以a為橫軸，b縱軸，
再以z=2a-b為目標(biāo)，點(diǎn)（a，b）對(duì)應(yīng)的區(qū)域S如圖陰影部分所示，
易得圖中A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-4，3），（-3，0），（-1，0），（4分）
（1）令z=2a-b，則直線b=2a-z經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)z取到下邊界-11，經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)z取到上邊界-2，
又A，B，C三點(diǎn)的值沒(méi)有取到，所以-11＜z＜-2．
（2）若點(diǎn)（a，b）∈S，則2a-b∈（-11，-2），
y=

4a2-4ab+b2+4028a-2014b+49

2a-b

=

(2a-b)2+2014(2a-b)+49

2a-b

=（2a-b）+2014+

49

2a-b

．
令x=2a-b∈（-11，-2），則y=x+

49

x

+2014，令y′=1-

49

x2

=0，求得x=7（舍去），或 x=-7，
由于在（-11，-7）上，y′＞0，∴函數(shù)y在（-11，-7）上是增函數(shù)，
在（-7，-2）上，y′＜0，∴函數(shù)y是減函數(shù)．
∴當(dāng)x=-7時(shí)，y_max=2000；當(dāng)x=-11時(shí)，y=2013-

49

11

；當(dāng)x=-2時(shí)，y=

3975

2

，
故函數(shù)y的范圍為（

3975

2

，2000]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了一元二次方程根據(jù)的分布，以及線性規(guī)劃的基本知識(shí)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性求函數(shù)的值域，考查了學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用，屬于中檔題．