Question

冪函數(shù)y=

x

的圖象上的點(diǎn) P_n（t_n²，t_n）（n=1，2，…）與x軸正半軸上的點(diǎn)Q_n及原點(diǎn)O構(gòu)成一系列正△P_nQ_n-1Q_n（Q₀與O重合），記a_n=|Q_nQ_n-1|
（1）求a₁的值；   
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式 a_n；
（3）設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，若對于任意的實(shí)數(shù)λ∈[0，1]，總存在自然數(shù)k，當(dāng)n≥k時(shí)，3S_n-3n+2≥（1-λ）（3a_n-1）恒成立，求k的最小值．

Answer 1

分析：（1）由P₁（t₁²，t₁）（t＞0），知kOP1=

1

t1

=tan

π

3

=

3

，由此能求出a₁的值．
（2）設(shè) P_n（t_n²，t_n），得直線 P_nQ_n-1的方程為：y-t_n=

3

（x-t_n²），故Q_n-1（t_n²-

tn

3

，0），由直線 P_nQ_n的方程為：y-t_n=-

3

（x-t_n²），得 Q_n（t_n²+

tn

3

，0），故t_n²-

tn

3

=t_n-1²+

tn-1

3

，由此能求出a_n．
（3）對于任意的實(shí)數(shù)λ∈[0，1]，總存在自然數(shù)k，當(dāng)n≥k時(shí)，3S_n-3n+2≥（1-λ）（3a_n-1）恒成立，等價(jià)于對任意實(shí)數(shù) λ∈[0，1]時(shí)，（2n-1）λ+n²-4n+3≥0 恒成立．令f （λ）=（2n-1）λ+n²-4n+3，對任意實(shí)數(shù) λ∈[0，1]時(shí)，

f(0)=n2-4n+3≥0 f(1)=n2-2n+2≥0

，由此能求出k 的最小值．

解答：解：（1）∵P₁（t₁²，t₁）（t＞0），…（1分），
∴kOP1=

1

t1

=tan

π

3

=

3

，解得t₁=

3

3

，
∴P₁（

1

3

，

3

3

），a₁=|Q₁Q₀|=|OP₁|=

2

3

．…（5分）
（2）設(shè) P_n（t_n²，t_n），得直線 P_nQ_n-1的方程為：y-t_n=

3

（x-t_n²），
∴Q_n-1（t_n²-

tn

3

，0），
直線 P_nQ_n的方程為：y-t_n=-

3

（x-t_n²），
∴得 Q_n（t_n²+

tn

3

，0）
∴Q_n-1（t_n-1²+

tn-1

3

，0），故t_n²-

tn

3

=t_n-1²+

tn-1

3

，
由 t_n＞0，得t_n-t_n-1=

1

3

∴t_n=t₁+

1

3

（n-1）=

3

3

n．…（8分）
∴Q_n（

1

3

n（n+1），0），Q_n-1（

1

3

n（n-1），0），
∴a_n=|Q_nQ_n-1|=

2

3

n．…（10分）
（3）∵對于任意的實(shí)數(shù)λ∈[0，1]，總存在自然數(shù)k，
當(dāng)n≥k時(shí)，3S_n-3n+2≥（1-λ）（3a_n-1）恒成立，
∴對任意實(shí)數(shù)λ∈[0，1]時(shí) n²-2n+2≥（1-λ） （2n-1）恒成立，
∴對任意實(shí)數(shù) λ∈[0，1]時(shí)，（2n-1）λ+n²-4n+3≥0 恒成立．…（12分）
令f （λ）=（2n-1）λ+n²-4n+3，
則 f （λ） 是關(guān)于 λ 的一次函數(shù)．
∴對任意實(shí)數(shù) λ∈[0，1]時(shí)，

f(0)=n2-4n+3≥0 f(1)=n2-2n+2≥0

，…（14分）
解得n≥3或n≤1，
又∵n∈N^*，∴k 的最小值為3．…（16分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合運(yùn)用，綜合性強(qiáng)，難度大，具有一定的探索性，對數(shù)學(xué)思維的要求較高．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．