Question

17．已知點M是圓C：（x-1）²+（y-4）²=1上的點，不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x+2y+4≥0}\\{x+4y≤0}\\{x+（a-1）y+2（a-1）≤0}\\{\;}\end{array}\right.$（a≠1）表示的平面區(qū)域為Ω，點P是Ω上一點，若|PM|的最小值為$\sqrt{17}$-1，則實數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． （-∞，1）
• B． （-3，1）
• C． （1，+∞）
• D． （1，3）

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，利用得到直線的距離公式可得，圓心C（1，4）到直線x+4y=0的距離為$\sqrt{17}$，由此可知，當P點為過C垂直于直線x+4y=0的線段的垂足時，滿足|PM|的最小值為$\sqrt{17}$-1，然后結合原點在二元一次不等式x+（a-1）y+2（a-1）≤0所表示的平面區(qū)域內(nèi)部得答案．

解答 解：如圖，
∵圓C：（x-1）²+（y-4）²=1的圓心C（1，4）到直線x+4y=0的距離為$\sqrt{17}$，
∴當P點為過C垂直于直線x+4y=0的線段的垂足時，滿足|PM|的最小值為$\sqrt{17}$-1，
CP所在直線方程為y=4x，則P點與O重合，
要使可行域包含O（0，0），則0+（a-1）×0+2（a-1）≤0，
即a≤1，又a≠1，
∴實數(shù)a的取值范圍為（-∞，1）．
故選：A．

點評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結合的解題思想方法，理解題意是解答該題的關鍵，是中檔題．