Question

已知函數(shù)f(x)=lnx，g(x)=

a

x

(a＞0)，設(shè)F(x)=f(x)+g(x)．
（I）求函數(shù)F（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若以函數(shù)y=F（x）（x∈（0，3]）的圖象上任意一點(diǎn)P（x₀，y₀）為切點(diǎn)的切線的斜率k≤

1

3

恒成立，求實(shí)數(shù)a的最小值；
（III）是否存在實(shí)數(shù)m，使得函數(shù)y=g(

2a

x2+1

)+m-1的圖象與函數(shù)y=f（1+x²）的圖象恰有四個(gè)不同的交點(diǎn)？若存在，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（I）先求出其導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可求出其單調(diào)區(qū)間；
（II）先把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為F'（x₀）=

x0-a

x02

≤

1

3

恒成立；再結(jié)合二次函數(shù)即可求出結(jié)論；
（III）先根據(jù)條件把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為m=ln（1+x²）-

1

2

x²-

1

2

有四個(gè)不同的根；求出其導(dǎo)函數(shù)，找到其極值點(diǎn)，根據(jù)極值即可得到結(jié)論．

解答：解：（I）∵f(x)=lnx，g(x)=

a

x

(a＞0)，設(shè)F(x)=f(x)+g(x)．
∴F'（x）=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

，（x＞0）；
∵x＞0；
所以：F'（x）＞0⇒x＞a．
∴F（x）在（a，+∞）上遞增；
 F'（x）＜0⇒0＜x＜a，
 F（x）在（0，a）上遞減．
所以：函數(shù)F（x）的單調(diào)增區(qū)間為（a，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（0，a）．
（II）因?yàn)椋篎'（x）=

x-a

x2

 （0＜x≤3），
則k=F'（x₀）=

x0-a

x02

≤

1

3

恒成立；
即a≥-

1

3

x02+x₀在（0，3]上恒成立，
當(dāng)x₀=

3

2

時(shí)，-

1

3

x02+x₀取最大值

3

4

，
∴a≥

3

4

．
即a的最小值為

3

4

．
（III）y=g(

2a

x2+1

)+m-1=

1

2

x²+m-

1

2

的圖象與函數(shù)y=f（1+x²）=ln（1+x²）的圖象恰有四個(gè)不同的交點(diǎn)，
即，

1

2

x²+m-

1

2

=ln（1+x²）有四個(gè)不同的根，亦即m=ln（1+x²）-

1

2

x²-

1

2

有四個(gè)不同的根；
令G（x）=ln（1+x²）-

1

2

x²-

1

2

；
則G'（x）=

2x

x2+1

-x=

2x-x3-x

x2+1

=

-x(x+1)(x-1)

x2+1

；
當(dāng)x變化時(shí)，G'（x），G（x）的變化情況如下表，

由表格知，G（x）的極小值G（0）=

1

2

，G（x）的極大值G（1）=G（-1）=ln2＞0．
∴m∈（

1

2

，ln2），y=G（x）與y=m恰有四個(gè)不同的交點(diǎn)，
即當(dāng)m∈（

1

2

，ln2）時(shí)，函數(shù)y=g(

2a

x2+1

)+m-1的圖象與函數(shù)y=f（1+x²）的圖象恰有四個(gè)不同的交點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極值，最值，以及恒成立問(wèn)題的判斷．