Question

已知數(shù)列滿(mǎn)足：，其中．
（1）當(dāng)時(shí)，求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）在（1）的條件下，若數(shù)列{b_n}中，，且b₁=1．求證：對(duì)于恒成立；
（3）對(duì)于，設(shè){a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，試比較S_n+2與的大�。�

Answer 1

（1）解：當(dāng)時(shí)，，∴，即分
故數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為a₁=1，公比為的等比數(shù)列．
故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為　分
（2）證明：由（1）得，，
∴當(dāng)n∈N^*，n≥2時(shí)，有=分
b₁=1也滿(mǎn)足上式，故當(dāng)n∈N^*時(shí)，．
∵n∈N^*，
∴，
∴，即分
（3）解：解法一：由得：，
∴，即，
∴是首項(xiàng)為，公比為sin²θ的等比數(shù)列，
故分
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n=（cos²θ+cos⁴θ+…+cos²ⁿθ）+（sin²θ+sin⁴θ+…+sin²ⁿθ）
=分
因此，S_n+2-=+2-
=
=
=，
∴S_n+2＜．…（14分）
解法二：同解法一得 分
∵分
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n=（cos²θ+cos⁴θ+…+cos²ⁿθ）+（sin²θ+sin⁴θ+…+sin²ⁿθ）===
∴S_n+2＜．…（14分）
（其他解法酌情給分）
分析：（1）先確定數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為a₁=1，公比為的等比數(shù)列，再求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）得，，從而可得確定角的范圍，即可得到結(jié)論；
（3）解法一：先確定{a_n}的通項(xiàng)公式，再分組求和，作差比較可得結(jié)論；
解法二：先確定{a_n}的通項(xiàng)公式，再分組求和，利用放縮法可得結(jié)論；
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查不等式的證明，考查大小比較，確定數(shù)列通項(xiàng)，掌握求和方法是關(guān)鍵．