Question

設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，且f(1)＝－，3a＞2c＞2b，求證：

(1)a＞0，且－3＜＜－；

(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)至少有一個零點；

(3)設(shè)x1，x2是函數(shù)f(x)的兩個零點，則≤|x1－x2|＜.

 

Answer 1

（1）－3＜＜－（2）函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)至少有一個零點．（3）見解析

【解析】(1)由已知得f(1)＝a＋b＋c＝－，∴3a＋2b＋2c＝0，

又3a>2c>2b，∴a＞0，b＜0.

又2c＝－3a－2b，∴3a＞－3a－2b＞2b，

∵a＞0，∴－3＜＜－.

(2)由已知得f(0)＝c，f(2)＝4a＋2b＋c＝a－c，

①當(dāng)c＞0時，f(0)＝c＞0，f(1)＝－＜0，

∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少有一個零點；

②當(dāng)c≤0時，f(1)＝－＜0，f(2)＝a－c＞0，

∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)至少有一個零點．

綜上所述，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)至少有一個零點．

(3)∵x1，x2是函數(shù)f(x)的兩個零點，

∴x1＋x2＝－，x1x2＝＝－－，

∴|x1－x2|＝＝，

∵－3＜＜－，∴≤|x1－x2|＜.