Question

在等腰△ABC中，已知AB=AC，B（-1，0），D（2，0）為AC的中點．
（1）求點C的軌跡方程；
（2）已知直線l：x+y-4=0，求邊BC在直線l上的投影EF長的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設出C，進而可表示出D和A，進而利用B的坐標和AB=AC利用兩點間的距離公式求得x和y的關系，進而根據(jù)A，B，C三點不共線判斷出y≠0，則C點的軌跡方程可得．
（2）根據(jù)題意可求得BE的方程，設出直線CF的方程，當EF取得最大值時，直線CF與圓（x-1）²+y²=4相切．利用點到直線的距離求得b，則直線CF的方程可得．進而根據(jù)EF長的最大值是點B到CF的距離，答案可得．
解答：解：（1）設C（x，y），
∵D（2，0）為AC的中點，
∴A（4-x，-y）．
∵B（-1，0），由AB=AC，得AB²=AC²．
∴（x-5）²+y²=（2x-4）²+（2y）²．
整理，得（x-1）²+y²=4．
∵A，B，C三點不共線，∴y≠0．
則點C的軌跡方程為（x-1）²+y²=4（y≠0）．
（2）由條件，易得
BE：x-y+1=0．
設CF：x-y+b=0，
當EF取得最大值時，
直線CF與圓（x-1）²+y²=4相切．
設M（1，0），由，得（舍去），或．
∴CF：x-y=0．
∴EF_max等于點B到CF的距離
=．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學生運用解析幾何的知識解決問題的能力．