Question

15．已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱長均為1，D是BC上一點，AD⊥C₁D，以A為坐標(biāo)原點，平面ABC內(nèi)AC的垂線，AC，AA₁所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則點D的坐標(biāo)為（$\frac{\sqrt{3}}{4}$，$\frac{3}{4}$，0），平面ADC₁的一個法向量為（$\sqrt{3}$，-1，1）．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，利用空間直角坐標(biāo)系中三棱柱的邊角關(guān)系，寫出點D的坐標(biāo)，
再根據(jù)平面法向量的定義列出方程組求出平面的一個法向量．

解答 解：在空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz中，A（0，0，0），C（0，1，0），
A₁（0，0，1），C₁（0，1，1）；
由AD⊥C₁D，得出AD⊥側(cè)面BCC₁B₁，
∴AD⊥BC，D為BC的中點，
∴點D的坐標(biāo)為（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos60°，$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin60°，0），
即（$\frac{\sqrt{3}}{4}$，$\frac{3}{4}$，0）；
設(shè)平面ADC₁的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\overrightarrow{{AC}_{1}}$=（0，1，1），$\overrightarrow{AD}$=（$\frac{\sqrt{3}}{4}$，$\frac{3}{4}$，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{AC}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{y+z=0}\\{\frac{\sqrt{3}}{4}x+\frac{3}{4}y=0}\end{array}\right.$，
令y=-1，得z=1，x=$\sqrt{3}$，
∴法向量$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，-1，1）．
故答案為：（$\frac{\sqrt{3}}{4}$，$\frac{3}{4}$，0），（$\sqrt{3}$，-1，1）．

點評 本題考查了空間直角坐標(biāo)系的應(yīng)用問題，也考查了利用坐標(biāo)法求平面的法向量問題，是綜合性題目．