Question

如圖，PC⊥平面ABC，∠ACB=90°，D為AB中點(diǎn)，
AC=BC=PC=2．
(Ⅰ)求證：AB⊥平面PCD；
(Ⅱ)求異面直線PD與BC所成角的大小；
(Ⅲ)設(shè)M為線段PA上的點(diǎn)，且AP=4AM，求點(diǎn)A到平面BCM的距離．

Answer 1

(Ⅰ)證明見解析。
(Ⅱ) arccos
(Ⅲ)

本小題主要考查空間直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系，異面直線所成的角，點(diǎn)面距離等基礎(chǔ)知識(shí)；考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力．滿分12分．
(Ⅰ)因?yàn)?i>PC⊥平面ABC，AB平面ABC，所以PC⊥AB．………………………2分
△ABC中，AC=BC，且D為AB中點(diǎn)，所以CD⊥AB．
又PC∩CD=C，所以AB⊥平面PCD．…………………………………………4分
(Ⅱ)如圖，取AC中點(diǎn)E，連結(jié)DE、PE，則DE∥BC，
所以∠PDE(或其補(bǔ)角)為異面直線PD與BC所成的角．…………………5分
因?yàn)?i>BC∥DE，AC⊥BC，所以AC⊥DE；
又PC⊥平面ABC，DE平面ABC，所以PC⊥DE，
因?yàn)?i>AC∩PC=C，所以DE⊥平面PAC，
因?yàn)?i>PEC平面PAC，所以DE⊥PE．………6分
在Rt△ABC中，因?yàn)?i>AC=BC=2，所以AB=2
在Rt△PCD中，因?yàn)?i>PC=2，CD=AB=，
所以PD=．
在Rt△PDE中，因?yàn)?i>DE=BC=1．所以cos∠PDE=
即異面直線PD與BC所成的角為arccos.……………………………8分
(Ⅲ)因?yàn)?i>BC⊥AC，BC⊥PC，所以BC⊥平面PAC，所以平面PCM⊥平面BCM．
過點(diǎn)A作AN⊥CM交CM于N，則AN⊥平面BCM．…………………10分
在Rt△PAC中，AC=PC=2，所以AP=2，又AP=4AM，所以AM=
△ACM中，∠MAC=45°，所以CM==
過M作MG⊥AC交AC于G，MG=AMsin45°=，
由MG·AC=AN·CM，得AN=．
所以點(diǎn)A到平面BCM的距離為．…………………………………12分