Question

17．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}|2+lnx|，x＞0\\-{x^2}-2x+1，x≤0\end{array}\right.$存在互不相等實(shí)數(shù)a，b，c，d，有f（a）=f（b）=f（c）=f（d）=m．現(xiàn)給出三個(gè)結(jié)論：
（1）m∈[1，2）；
（2）a+b+c+d∈[e^-3+e^-1-2，e^-4-1），其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)；
（3）關(guān)于x的方程f（x）=x+m恰有三個(gè)不等實(shí)根．
正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 0個(gè)
• B． 1個(gè)
• C． 2個(gè)
• D． 3個(gè)

Answer 1

分析 由題意畫(huà)出函數(shù)y=f（x）的圖象，數(shù)形結(jié)合逐一分析三個(gè)結(jié)論得答案．

解答 解：作出函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}|2+lnx|，x＞0\\-{x^2}-2x+1，x≤0\end{array}\right.$的圖象如圖，

若直線(xiàn)y=m與函數(shù)y=f（x）的圖象相交于四個(gè)不同的點(diǎn)，由圖可知m∈[1，2），
故（1）正確；
設(shè)y=m與函數(shù)y=f（x）的交點(diǎn)自左至右依次為a，b，c，d，
由-2-lnx=1，得x=e^-3，由-2-lnx=2，得x=e^-4，
∴c∈（e^-4，e^-3]，
又-2-lnc=2+lnd，∴cd=e^-4，
∴a+b+c+d=-2+c+$\frac{{e}^{-4}}{c}$在（e^-4，e^-3]上是遞減函數(shù)，
∴a+b+c+d∈[e^-3+e^-1-2，e^-4-1），
故（2）正確；
設(shè)斜率為1的直線(xiàn)與y=lnx+2相切于（x₀，lnx₀+2），
則由$\frac{1}{{x}_{0}}=1$，可得x₀=1，則切點(diǎn)為（1，2），
此時(shí)直線(xiàn)方程為y-2=1×（x-1），即y=x+1，
∴當(dāng)m=1時(shí)，直線(xiàn)y=x+m與函數(shù)y=f（x）有4個(gè)不同交點(diǎn)，即關(guān)于x的方程f（x）=x+m有四個(gè)不等實(shí)根，
故（3）錯(cuò)誤．
∴正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是2個(gè)．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的圖象，分段函數(shù)，零點(diǎn)與方程的根之間的關(guān)系，綜合性較強(qiáng)，是難題．