Question

已知函數(shù)f（x）滿足2f（x）+f（-

1

x

）=6x-

3

x

，對(duì)任意x≠0恒成立，在數(shù)列{a_n}，{b_n} 中，a₁=1，b₁=1，對(duì)任意n∈N₊，a_n+1=

f(an)

2f(an)+3

，bn+1-bn=

1

an

（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）若對(duì)任意實(shí)數(shù)λ∈[0，1]總存在自然數(shù)k，當(dāng)n≥k時(shí)，b_n≥

1-λ

3

f（

1

an

）恒成立，求k的最小值．

Answer 1

分析：（1）由已知中2f（x）+f（-

1

x

）=6x-

3

x

可得：2f（-

1

x

）+f（x）=-6×

1

x

+3x，消去f（-

1

x

）可得函數(shù)f（x）的解析式；
（2）由a_n+1=

f(an)

2f(an)+3

變形可得

1

an+1

-

1

an

=2，可求出數(shù)列{

1

an

}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）若對(duì)任意實(shí)數(shù)λ∈[0，1]總存在自然數(shù)k，當(dāng)n≥k時(shí)，b_n≥

1-λ

3

f（

1

an

）恒成立，則

n2-2n+2

2n-1

≥1-λ對(duì)任意實(shí)數(shù)λ∈[0，1]恒成立，即

n2-2n+2

2n-1

≥1，解不等式可得滿足條件的n值．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）滿足2f（x）+f（-

1

x

）=6x-

3

x

，…①
∴2f（-

1

x

）+f（x）=-6×

1

x

+3x  …②
由①②得f（x）=3x（x≠0）…（3分）
（2）∵a_n+1=

f(an)

2f(an)+3

=

an

2an+1

，
即a_n-a_n+1=2a_na_n+1，
∴

1

an+1

-

1

an

=2
又∵

1

a1

=1
∴數(shù)列{

1

an

}是以1為首項(xiàng)，d=2為公差的等差數(shù)列，
∴

1

an

=2n-1
∴a_n=

1

2n-1

 …（6分）
又∵bn+1-bn=

1

an

=2n-1
∴當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）=1+3+5+…+（2n-3）=n²-2n+2
當(dāng)n=1時(shí)，n²-2n+2=1滿足上式
故b_n=n²-2n+2 …（9分）
（3）∵b_n≥

1-λ

3

f（

1

an

）恒成立，
當(dāng)n=1驗(yàn)證符合題意；
當(dāng)n≥2時(shí)，

n2-2n+2

2n-1

≥1-λ對(duì)任意實(shí)數(shù)λ∈[0，1]恒成立，
∴只須

n2-2n+2

2n-1

≥1
解得n=1或n≥3
∴自然數(shù)k的最小值為3．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)列與函數(shù)的綜合，方程組法求函數(shù)的解析式，數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列求和，恒成立問(wèn)題，二次不等式，綜合性強(qiáng)，運(yùn)算強(qiáng)度大，屬于難題．