Question

已知空間四邊形ABCD中，E、H分別是AB、AD的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是BC、CD上的點(diǎn)，且．
求證：（1）E、F、G、H四點(diǎn)共面；（2）三條直線(xiàn)EF、GH、AC交于一點(diǎn)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由E、H分別是AB、AD的中點(diǎn)，根據(jù)中位線(xiàn)定理，我們可得，EH∥BD，又由F、G分別是BC、CD上的點(diǎn)，且．根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理的引理，我們可得FG∥BD，則由平行公理我們可得EH∥FG，易得E、F、G、H四點(diǎn)共面；
（2）由（1）的結(jié)論，直線(xiàn)EF，GH是梯形的兩腰，所以它們的延長(zhǎng)線(xiàn)必相交于一點(diǎn)P，而由于AC是EF和GH分別所在平面ABC和平面ADC的交線(xiàn)，而點(diǎn)P是上述兩平面的公共點(diǎn)，由公理3知P∈AC．故三線(xiàn)共點(diǎn)．
解答：證明：（1）在△ABD和△CBD中，
∵E、H分別是AB和CD的中點(diǎn)，∴EHBD
又∵，∴FGBD．
∴EH∥FG
所以，E、F、G、H四點(diǎn)共面．
（2）由（1）可知，EH∥FG，且EH≠FG，即直線(xiàn)EF，GH是梯形的兩腰，
所以它們的延長(zhǎng)線(xiàn)必相交于一點(diǎn)P
∵AC是EF和GH分別所在平面ABC和平面ADC的交線(xiàn)，而點(diǎn)P是上述兩平面的公共點(diǎn)，
∴由公理3知P∈AC．
所以，三條直線(xiàn)EF、GH、AC交于一點(diǎn)
點(diǎn)評(píng)：所謂線(xiàn)共點(diǎn)問(wèn)題就是證明三條或三條以上的直線(xiàn)交于一點(diǎn)．（1）證明三線(xiàn)共點(diǎn)的依據(jù)是公理3．（2）證明三線(xiàn)共點(diǎn)的思路是：先證兩條直線(xiàn)交于一點(diǎn)，再證明第三條直線(xiàn)經(jīng)過(guò)該點(diǎn)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明點(diǎn)在直線(xiàn)上的問(wèn)題．實(shí)際上，點(diǎn)共線(xiàn)、線(xiàn)共點(diǎn)的問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)在直線(xiàn)上的問(wèn)題來(lái)處理．